Идеальной жидкости (уравнения Эйлера)

Пусть p=p (x, y, z) - давление в жидкости. Выделим внутри жидкости куб (рис. 2.2) с бесконечно малыми рёбрами dx, dy, dz и рассмотрим его равновесие под действием поверхностных и массовых сил. Возьмём частный случай объёмных сил - силу тяжести. Касательных сил в покоящейся жидкости нет, поэтому на грани куба действуют только нормальные поверхностные сжимающие силы.

Рассмотрим равновесие сил, действующих вдоль оси x. На гранях, нормальных к осям y и z, силы дают нулевую проекцию на ось x. В пределах куба (поскольку он мал) учтём в разложении функции p (x, y, z) в ряд Тейлора лишь члены, линейно зависящие от приращения координат. Обозначим давление на левую грань p (x, y, z). При этом давление на правую грань будет . Проекция на ось x силы давления на левую грань равна pdydz, а на правую . Сумма проекций всех поверхностных сил на ось x при этом окажется

Рис. 2.2

Равнодействующая (массовой) силы тяжести dG в объеме куба:

dG=g·ρ ·dx·dy·dz, (2.4)

где g - ускорение силы тяжести - представляет собой плотность распределения силы тяжести в пространстве.

Полагаем, что жидкость несжимаема, и её плотность ρ =const.

Обозначив проекцию ускорения g на ось x через X, получим для проекции силы dG на эту ось:

. (2.5)

Приравняв нулю сумму проекций всех сил на ось x, получим:

. (2.6)

Разделив уравнение (2.6) на массу куба ρ dxdydz, получим уравнение равновесия в окончательном виде. Аналогично получим ещё два уравнения, проектируя силы на оси y и z (и обозначая через Y и Z проекции плотности распределения силы тяжести g на оси y и z). В результате получим уравнения равновесия (покоя) идеальной жидкости:

(2.7)

Уравнения (2.7) были получены в 1755 г. Л. Эйлером и носят его имя. Эти уравнения определяют взаимодействие поверхностных и объёмных сил в любой точке однородной несжимаемой жидкости.