Предмет и метод вычислительной математики

Область математики, которая призвана разрабатывать методы доведения до числового результата основных задач математического анализа, алгебры, геометрии и т.д. и пути использования для этой цели современных вычислительных средств, называется вычислительной математикой.

Большинство задач математики могут быть записаны в виде:

, (1)

где , - заданные пространства, - некоторая заданная функция. Задача состоит либо в отыскании по заданному , либо в отыскании по заданному .

Далеко не всегда с помощью средств современной математики удается точно решить эти задачи, применяя конечное число шагов. В этих случаях прибегают к вычислительной математике, в задачи которой входит и разработка приемов и методов наиболее рационального решения конкретных задач.

Одним из основных методов, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные задачи, является замена пространств и функции некоторыми другими пространствами и функцией , более удобными для вычислительных целей. Иногда бывает достаточно произвести замену или даже одного из них. Иногда достаточно заменить только функцию . Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи

(2)

где , было в каком-то смысле близким к точному решению исходной задачи (1) и его возможно было бы практически отыскать с сравнительно небольшими трудностями.

Например, пусть необходимо вычислить интеграл Римана , где - произвольная непрерывная на сегменте функция (т.е. она интегрируема по Риману на ), но первообразная для нее в элементарных функциях не берется. В обозначения задачи (1): исходные данные – функция , она принадлежит пространству непрерывных на функций - , т.е. . По функции нужно определить число , , т.е. . Функция, которая исходным данным ставит в соответствие числовой результат, это функция интегрирования по Риману на , т.е. в обозначениях (1): . Для решения этой задачи возможны 2 пути:

1. Заменить функцию алгебраическим многочленом равномерно приближающим функцию на с необходимой степенью точности (рис.1) (как будет показано позже, это можно сделать). Затем вместо находится , вычисление которого не составляет труда. Конечно

,

но если , то .

Произведенная замена исходной задачи включает в себя только замену пространства исходных данных на - пространство многочленов: вместо функции для интегрирования берется многочлен из некоторой ее окрестности.

Рис.1.

2. Из определения следует, что всегда можно построить интегральную сумму

,

которая будет достаточно близка к значению интеграла (рис.2): .

Рис.2.

Таким образом задача вычисления интеграла заменена на другую задачу – вычисления конечной суммы, а это значит, что при неизменности пространств произошла замена функции новой функцией .

Задание 1.1. Привести примеры задач, для решения которых используется метод замены.