Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Две задачи, на которые распадается задача решения нелинейного уравнения. Задача отделения корней нелинейного уравнения и методы ее решения






Задача решения нелинейного уравнения (1) распадается на две подзадачи:

1) Отделение корней – определение интервалов, в каждом из которых лежит только один корень уравнения (1);

2) Непосредственное вычисление корней с заданной точностью.

Первая задача является наиболее сложной. Для ее решения чаще применяются графический метод, а также методы, основанные на математическом анализе (вторые служат для уточнения результата, полученного графическим методом).

При использовании графического метода возможны два варианта.

Во-первых, достаточно построить график функции и определить точки пересечения графика с осью ОХ. Тогда интервалы, содержащие эти точки, и будут результатами решения задачи отделения корней. Например, пусть требуется решить нелинейное уравнение:

 

.

 

Здесь . График этой функции представлен на рис.1. Из графика видно, что рассматриваемое уравнение имеет единственный вещественный корень , который находится между 1 и 2. Таким образом, результатом отделения корней является единственный интервал .

Если функция имеет достаточно сложное представление (а потому и построение ее графика вызывает затруднение), можно использовать графический метод в другом варианте. Исходное уравнение представляется в эквивалентном виде:

 

,

 

для которого функции имеют менее сложное представление, чем . Тогда для отделения корней в одной системе координат строятся графики функций . Решение уравнения – это абсцисса точки пересечения построенных графиков.

 

Рис.1.

 

Для предыдущего примера уравнение можно представить в эквивалентном виде: , где , , тогда отделение корня приводит к тому же результату – это (рис.2).

Проверим, насколько правильно отделен корень уравнения , используя теоремы математического анализа. Характер монотонности функции определяется знаком ее производной. Поскольку при , то строго монотонно возрастает на и значит ее график может пересечь ось ОХ не более одного раза (может не пересечь вовсе). Поскольку на концах непрерывная функция принимает значения разных знаков (), то по теореме Ролля ее график обязательно пересекает ось ОХ (единственный раз в силу строгой монотонности функции). Таким образом, действительно содержит единственный корень уравнения, отделение проведено верно.

Таким образом, для уточнения правильности отделения корня нелинейного уравнения, проведенного графическим методом, в общем случае достаточно проверить следующие условия. Пусть при графическом отделении корней уравнения установлено, что . Тогда, если:

1. строго монотонна на ;

2. непрерывна на ;

3. на концах сегмента принимает значения разных знаков: ,

то при одновременном выполнении всех трех условий можно утверждать, что действительно содержит корень уравнения , и этот корень единственный, т.е. графический метод дал правильное отделение корня.

Необходимо отметить, что каждое из условий 1-3 являются достаточными, но не необходимыми, т.е. даже при невыполнении этих условий может быть найден верно, т.е. содержать единственный корень уравнения (рис.3). Так функция, график которой представлен на рис.3(а), не является строго монотонной на ; функция, отвечающая графику на рис.3(б), не является непрерывной на ; а для графика 3(в) не выполняется условия различия знаков значений функции на концах , но в каждом из этих трех случаев корень уравнения был отделен верно.

Очень часто на практике выполнение условия различия знаков значений функции на концах без учета других свойств функции принимается за достаточное условие того, что содержит единственный корень уравнения , что часто не соответствует действительности (рис.4). Только одновременное выполнение условий 1-3 является достаточным подтверждением правильности отделения корня нелинейного уравнения.

 

а б в

 

Рис.3.

 

 

Рис.4.

 

Замечание 1. Пусть функция из уравнения (1) непрерывна и изменяет знак на . Значения переменной и вычисляемые значения - это числа с плавающей точкой, представимые в машине, т.е. как сама переменная , так и могут принимать значния из дискретного конечного множества, среди которых в силу вычислительной погрешности может не оказаться нуля. Поэтому при решении уравнения бó льший смысл имеет искать не нуль функции (он может не существовать в используемой системе с плавающей точкой), а малый по длине интервал , в котором меняет знак. Такой интервал всегда можно найти и можно сузить его настолько, насколько позволяет система чисел с плавающей точкой, т.е. так, чтобы концевыми точками интервала были два соседних числа этой системы. Для этого можно использовать мтод деления отрезка пополам.


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал