Преобразование отражения. Сведение матрицы к почти треугольному виду. Лекция 25. Общий подход к решению полной проблемы собственных значений

Лекция 25. Общий подход к решению полной проблемы собственных значений

План

Общая схема алгоритма решения полной проблемы собственных значений

Понятие верхней (нижней) почти треугольной матрицы. Спектр разложимой матрицы

Особенности нахождения собственных значений и собственных векторов трехдиагональной матрицы

Преобразование отражения. Сведение матрицы к почти треугольному виду

1. Общая схема алгоритма решения полной проблемы собственных значений

Методи решения полной проблемы собственных значений основаны на подобном преобразовании матрицы :

.

Для подобного преобразования используются ортогональные матрицы, т.е. такие матрицы , для которых: .

Общая схема решения полной проблемы собственных значений, как правило, состоит из следующих шагов:

1. Заданная матрица при помощи подобных преобразований сводится к трехдиагональному виду. Это делается за конечное определенное зараннее число шагов.

2. Строится итерационный процесс, где на каждой итерации производятся подобные преобразования. Цель этих преобразований – «приблизить» матрицу к диагональной, т.е. сделать так, чтобы диагональная матрица была пределом последовательности преобразованих на каждой итерации матриц. В этом случае все собственные значения начальной матрицы будут совпадать с диагональными элементами последней построенной диагональной матрицы.