Понятие верхней (нижней) почти треугольной матрицы. Спектр разложимой матрицы

Определение 1. Матрица называется верхней (нижней) почти треугольной матрицей, если для ее элементов имеют место соотношения:

, если (, если ).

Схематически верхняя (нижняя) почти треугольная матрица представлены на рис.1(а) (рис.1(б)).

Определение 2. Матрица называется трехдиагональной в случае, когда:

, если .

В общем случае трехдиагональная матрица имеет вид:

Если все произведения , то такая матрица называется матрицей Якоби.

а б

Рис.1.

Если матрица симметричная, то почти треугольная матрица одновременно будет и трехдиагональной:

Если здесь все , то симметричная трехдиагональная матрица является матрицей Якоби. Такие матрицы называются трехдиагональными неразложимыми матрицами.

В случае, когда существуют , матрица называется разложимой. Из алгебры известно, что такая матрица может быть разложена в прямую сумму неразложимых матриц. Так, если одно значение , то имеем:

В случае разложимой матрицы собственные значения ее неразложимых частей возможно искать независимо, т.к. спектр исходной матрицы будет определяться объединением спектров ее неразложимых частей. Здесь задача о нахождении спектра одной -матрицы сводится к решению задач о спектре матриц меньшего размера. В силу этого дальше рассматриваются неразложимые матрицы.