LU-разложение матрицы и основанный на нем метод решения системы

Пусть решается СЛАУ (5), при этом имеется LU-разложением матрицы системы. Тогда метод решения СЛАУ, основанный на LU-разложении заключается в следующем. Исходная система представляется в эквивалентном виде:

. (35)

Обозначим произведение матрицы на вектор неизвестных через вектор новых неизвестных :

, (40)

тогда система (35) примет вид:

. (45)

Таким образом, чтобы решить исходную систему (5) общего вида в методе, основанном на LU-разложении, надо решить последовательно две системы, но с треугольными матрицами: сначала СЛАУ (45), в результате получим вектор , а затем СЛАУ (40), подставив в правую часть уже известный .

СЛАУ (45) – система с нижней треугольной матрицей с единицами на главной диагонали:

.

Ее решение происходит сверху вниз путем последовательной подстановки уже найденных значений . После того, как найден, решается СЛАУ (40):

.

Решение производится снизу вверх путем выполнения последовательной подстановки уже найденных на предыдущих шагах значений .

Таким образом, основные шаги метода решения СЛАУ (5), основанного на LU-разложении матрицы системы, следующие:

Шаг 1. Построить LU-разложение матрицы СЛАУ: ;

Шаг 2. Решить СЛАУ , в результате решения получить вектор ;

Шаг 3. Решить СЛАУ , в результате решения получить искомый вектор .