Решить задачу линейного программирования.

Найти

при ограничениях

к=1,

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение x₁+x₂ = 3 по двум точкам.
Для нахождения первой точки приравниваем x₁ = 0. Находим x₂ = 3. Для нахождения второй точки приравниваем x₂ = 0. Находим x₁ = 3. Соединяем точку (0; 3) с (3; 0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 + 1 • 0 - 3 ≤ 0, т.е. x₁+x₂ - 3≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение x₁ = 0.
Эта прямая проходит через точку x₁ = 0 параллельно оси OX2. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 - 0 = 0, т.е. x₁ - 0≥ 0 в полуплоскости на прямой.
Построим уравнение x₂ = 1.
Эта прямая проходит через точку x₂ = 1 параллельно оси OX1. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 - 1 ≤ 0, т.е. x₂ - 1≥ 0 в полуплоскости выше прямой.

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x₁+3x₂ → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x₁+3x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (5), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x₁+x₂=3 И x₁=0
Решив систему уравнений, получим: x₁ = 0, x₂ = 3
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 2*0 + 3*3 = 9