Формула Тейлора

Сначала рассмотрим функцию двух переменных . Предполагаем, что в некоторой окрестности точки существуют все частные производные функции до -го порядка включительно. Фиксируем , . Запишем , , тогда значение функции в точке запишется как . Фиксируем и будем считать, что меняется только , тогда

.

Применим к функции формулу Маклорена с остаточным членом в форму Пеано:

В соответствии с нашими обозначениями . Вычислим производные функции через производные функции :

,

,

аналогично

,

,

Легко проверить, что -я производная имеет вид

Подставив все это в формулу Маклорена для и вернувшись к обозначениям , , мы получим

.

Обозначим теперь , ,

.

Так как и отличаются постоянным множителем, то при и наоборот, а также (при ). Тогда полученная нами формула Тейлора для функции двух переменных может быть записана в следующем виде:

или

,

где все дифференциалы берутся в точке .