Построим одноиндексную математическую модель задачи линейного программирования.

Задание № 1

Оптимизация методом линейного программирования

Необходимо выполнить следующие задачи:

1. Построить одноиндексную математическую модель задачи линейного программирования. В модели необходимо указать единицы измерения всех переменных, целевой функции и каждого ограничения. Решить задачу с использованием Microsoft Excel 2003, 2007 или 2010.

2. Провести анализ на чувствительность.

3. Построить и решить двойственную задачу линейного программирования.

Торговая фирма для продажи товаров трех видов использует ресурсы: время и площадь торговых залов. Затраты ресурсов на продажу одной партии товаров каждого вида даны в таблице.

Прибыль, получаемая от реализации одной партии товаров 1-го вида – 5 усл.ед., 2-го вида – 8 усл.ед., 3-го вида – 6 усл.ед.

Определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую фирме максимальную прибыль.

Решение

Построим одноиндексную математическую модель задачи линейного программирования.

Объектом моделирования является процесс получения максимальной прибыли, а целью – оптимизация структуры товарооборота.

Задача относится к классу оптимизационных задач. Математическая модель для задач такого класса состоит в построении целевой функции, для которой надо найти экстремум, при ограничениях.

Для данной задачи цель построения модели – максимизация прибыли от реализации партий товаров при соблюдении требований к общим нормам затрат ресурсов. Неизвестной является оптимальная структура товарооборота, обеспечивающая фирме максимальную прибыль.

Для решения поставленной задачи следует обозначить через х₁, х₂, х₃ -количество партий товара 1-го, 2-го и 3-го вида соответственно (шт.). Общую прибыль от реализации товаров можно определить по формуле:

(усл.ед.).

Функция Z называется целевой, ее следует максимизировать. На целевую функцию накладываются следующие ограничения:

- Количество реализованной продукции не может быть отрицательным.

- Количество используемых ресурсов не может превышать количество имеющихся ресурсов.

- На продажу 1-го вида товара затрачивается времени 0, 5 чел.-ч; для продажи товара 2-го вида – 0, 7 чел.-ч; для 3-го вида товара – 0, 6 чел.-ч. Время на реализацию всех 3-х видов товара не должно превышать 370 чел.-ч.

- Для продажи 1-го вида товара необходимо 0, 1 кв.м площади торговых залов; для продажи товара 2-го вида – 0, 3 кв.м; для 3-го вида товара – 0, 2 кв.м. Общая площадь торговых залов для реализацию всех 3-х видов товара не должно превышать 90 кв.м.

Таким образом, накладываются следующие ограничения:

Математическая модель задачи: найти структуру товарооборота (X₁, Х₂, Х₃), обеспечивающую максимальную прибыль фирме:

при ограничениях:

где по смыслу задачи:

x₁ 0, x₂ 0, x₃ 0.