Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рассмотренные выше основные закономерности тепловых процессов, протекающих в природе, описывают стационарные температурные поля. Однако часто приходится сталкиваться с нестационарными температурными полями, т. е. с такими полями, значения температуры которых меняются в каждой точке во времени. Для них закон Фурье и другие, справедливы, если рассматривать их в каждый момент времени. Тепловой процесс, протекающий во времени, можно описать дифференциальным уравнением. Такое уравнение получил Фурье. В основе этого уравнения лежит закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты, введенное в элементарный объем извне за время d t вследствие теплопроводности равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме. Ниже приведем вывод этого уравнения.

Рис. 3.4. Схема к выводу дифференциального уравнения теплопроводности [8]

Выделим в однородном и изотропном твердом теле (в системе декартовых координат x, y, z) элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 3.4) и рассмотрим баланс теплоты для этого объема. В пределах выделенного объема температура меняется в трех направлениях, соответственно по осям x, y, z. Следовательно, через три грани рассматриваемого параллелепипеда в направлении трех осей будет входить количество теплоты, равное Q ₁, Q ₃, Q ₅ и, соответственно, через три противоположные грани будет выходить количество теплоты, равное Q ₂, Q ₄, Q ₆.

Если количество теплоты, входящее в выделенный элементарный объем, не равно выходящему из него, то произойдет изменение энтальпии этого объема, которое обозначим через Q ₇.

Составим уравнение теплового баланса для выделенного объема вещества:

Q ₁ + Q ₂ + Q ₃ + Q ₄ + Q ₅ + Q ₆ = Q ₇. (3.27)

Определим составляющие этого уравнения. Согласно формуле (3.10), имеем:

(3.28)

Согласно формуле (3.1),

(3.29)

В уравнениях (3.28) и (3.29) q_x, q_y, q_z — удельные тепловые потоки через грани соответственно в направлении осей х, у, z; ¶ q_x/ ¶ х, ¶ q_y/ ¶ у, ¶ q_z/ ¶ z — изменение удельных тепловых потоков внутри выделенного объема по осям х, у, z; ¶ t/ ¶τ — изменение температуры этого объема за время d τ.

Решая совместно уравнения (3.27) – (3.29), одновременно проводя деление каждого слагаемого на dx, dy, dz, d τ и на с ρ, получаем

(3.30)

Выразим удельные тепловые потоки в уравнении (3.30) согласно закону Фурье (3.9). Тогда

(3.31)

или

¶ t/ ¶τ = a (¶² t/ ¶ x ² + ¶² t/ ¶ y ² + ¶² t/ ¶ z ²), (3.32)

где a = λ / (c ρ)—коэффициент температуропроводности.

Уравнение (3.32) носит название дифференциального уравнения теплопроводности в декартовых координатах.

Обозначив

¶² t/ ¶ x ² + ¶² t/ ¶ y ² + ¶² t/ ¶ z ² = Ñ ² t, (3.33)

где — оператор Лапласа, получим более короткую запись уравнения теплопроводности:

¶ t/ ¶τ = a Ñ ² t. (3.34)

Уравнение (3.32) описывает нестационарное пространственное температурное поле. Для нестационарного двухмерного температурного поля оно имеет вид

¶ t/ ¶τ = a (¶² t/ ¶ x ² + ¶² t/ ¶ y ²), (3.35)

а для нестационарного одномерного

¶ t/ ¶τ = a ¶² t/ ¶ x ². (3.36)

Если наблюдается температурное поле с неменяющейся температурой по времени, т. е. ¶ t/ ¶τ = 0, то дифференциальное уравнение теплопроводности (3.32) принимает вид уравнения Лапласа:

¶² t/ ¶ x ² + ¶² t/ ¶ y ² + ¶² t/ ¶ z ² = 0. (3.37)

Соответственно для двухмерного температурного поля

¶² t/ ¶ x ² + ¶² t/ ¶ y ²= 0, (3.38)

для одномерного

¶² t/ ¶ x ² = 0. (3.39)

Температурные поля, описываемые уравнениями (3.37) - (3.39), носят название стационарных полей. Из этих уравнений следует, что температурные поля тел при стационарном режиме не зависят от коэффициента температуропроводности a и, следовательно, от коэффициента теплопроводности λ.