![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Рассмотренные выше основные закономерности тепловых процессов, протекающих в природе, описывают стационарные температурные поля. Однако часто приходится сталкиваться с нестационарными температурными полями, т. е. с такими полями, значения температуры которых меняются в каждой точке во времени. Для них закон Фурье и другие, справедливы, если рассматривать их в каждый момент времени. Тепловой процесс, протекающий во времени, можно описать дифференциальным уравнением. Такое уравнение получил Фурье. В основе этого уравнения лежит закон сохранения энергии, который в рассматриваемом случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты, введенное в элементарный объем извне за время d t вследствие теплопроводности равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме. Ниже приведем вывод этого уравнения. Рис. 3.4. Схема к выводу дифференциального уравнения теплопроводности [8]
Выделим в однородном и изотропном твердом теле (в системе декартовых координат x, y, z) элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 3.4) и рассмотрим баланс теплоты для этого объема. В пределах выделенного объема температура меняется в трех направлениях, соответственно по осям x, y, z. Следовательно, через три грани рассматриваемого параллелепипеда в направлении трех осей будет входить количество теплоты, равное Q 1, Q 3, Q 5 и, соответственно, через три противоположные грани будет выходить количество теплоты, равное Q 2, Q 4, Q 6. Если количество теплоты, входящее в выделенный элементарный объем, не равно выходящему из него, то произойдет изменение энтальпии этого объема, которое обозначим через Q 7. Составим уравнение теплового баланса для выделенного объема вещества: Q 1 + Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 + Q 6 = Q 7. (3.27) Определим составляющие этого уравнения. Согласно формуле (3.10), имеем:
(3.28)
Согласно формуле (3.1), (3.29)
В уравнениях (3.28) и (3.29) qx, qy, qz — удельные тепловые потоки через грани соответственно в направлении осей х, у, z; ¶ qx/ ¶ х, ¶ qy/ ¶ у, ¶ qz/ ¶ z — изменение удельных тепловых потоков внутри выделенного объема по осям х, у, z; ¶ t/ ¶τ — изменение температуры этого объема за время d τ. Решая совместно уравнения (3.27) – (3.29), одновременно проводя деление каждого слагаемого на dx, dy, dz, d τ и на с ρ, получаем
(3.30)
Выразим удельные тепловые потоки в уравнении (3.30) согласно закону Фурье (3.9). Тогда
(3.31)
или ¶ t/ ¶τ = a (¶2 t/ ¶ x 2 + ¶2 t/ ¶ y 2 + ¶2 t/ ¶ z 2), (3.32) где a = λ / (c ρ)—коэффициент температуропроводности. Уравнение (3.32) носит название дифференциального уравнения теплопроводности в декартовых координатах. Обозначив
где — оператор Лапласа, получим более короткую запись уравнения теплопроводности: ¶ t/ ¶τ = a Ñ 2 t. (3.34)
Уравнение (3.32) описывает нестационарное пространственное температурное поле. Для нестационарного двухмерного температурного поля оно имеет вид ¶ t/ ¶τ = a (¶2 t/ ¶ x 2 + ¶2 t/ ¶ y 2), (3.35) а для нестационарного одномерного ¶ t/ ¶τ = a ¶2 t/ ¶ x 2. (3.36) Если наблюдается температурное поле с неменяющейся температурой по времени, т. е. ¶ t/ ¶τ = 0, то дифференциальное уравнение теплопроводности (3.32) принимает вид уравнения Лапласа: ¶2 t/ ¶ x 2 + ¶2 t/ ¶ y 2 + ¶2 t/ ¶ z 2 = 0. (3.37) Соответственно для двухмерного температурного поля ¶2 t/ ¶ x 2 + ¶2 t/ ¶ y 2= 0, (3.38) для одномерного ¶2 t/ ¶ x 2 = 0. (3.39) Температурные поля, описываемые уравнениями (3.37) - (3.39), носят название стационарных полей. Из этих уравнений следует, что температурные поля тел при стационарном режиме не зависят от коэффициента температуропроводности a и, следовательно, от коэффициента теплопроводности λ.
|