Корреляционный и регрессионный анализ как метод изучения и прогнозирования экономических показателей

ЦЕЛЬ: Усвоить основные идеи корреляционного анализа и расчета коэффициента корреляции, овладеть методом построения регрессионных уравнений экономических показателей.

Процесс прогнозирования экономических показателей носит вероятностный характер, поэтому при прогнозировании их наибольший эффект дают методы корреляционного и регрессионного анализов.

Сначала проведем корреляционный анализ.

Предположим, что произведена выборка n значений показателя в ретроспективном периоде (или имеются данные n выборочных наблюдений) и влияющего на него фактора. В результате получен ряд значений признака (y)

y₁, y₂, …, y_n

и влияющего на него фактора (x)

x₁, x₂, …, x_n

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить тесноту связи между признаком и фактором.

Наличие и количественную характеристику связи между признаком и фактором можно определить с помощью оценки коэффициента корреляции R, который вычисляется по формуле:

(1)

где средние значения х и у вычисляются по формулам:

и

x_i, y_i - фактические значения фактора и признака при наблюдении или в год ретроспективного периода;

- среднее значение фактора и признака;

n - число наблюдений или число лет в ретроспективном периоде.

Коэффициент корреляции определяет тесноту связи между x и y и называется линейным коэффициентом корреляции.

Величина коэффициента корреляции изменяется

-1 _ R _ 1

При R = - 1 или R = 1 имеет место строгая пропорциональность в изменении y и x, при R =0 связь между y и x отсутствует, что обозначает их независимость.

Коэффициент корреляции вычисляется по выборочным данным и, как любой другой статистический показатель, может быть определен с некоторой погрешностью. При отсутствии корреляционной связи между признаками коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю, однако из-за случайного характера отбора данных выборочный коэффициент корреляции может быть и отличен от нуля. В связи с этим возникает необходимость проверки значимости коэффициента корреляции вычисленного на основании отбора данных. Выборочный коэффициент корреляции считается значимым, если выводы относительно наличия и характера корреляционной связи, сделанные на основании выборки, справедливы и для генеральной совокупности.

Рассмотрим способы оценки значимости коэффициента корреляции.

Каждому значению коэффициента корреляции соответствует случайная величина t, подчиненная распределению Стьюдента с К = n - 2 степенями свободы,

Вычисленное по этой формуле значение t сравнивают с критическим значением t_{k, a}, которое находят по таблице распределения Стьюдента при заданных уровне значимости и числе степеней свободы К. Если , то различие между выборочным коэффициентом корреляции и коэффициентом корреляции r, равным нулю, незначимо, а отличие от нуля r объясняется случайным характером отбора данных.

В практических расчетах уровень значимости a принимают равным 0, 05. Значения статистики Стьюдента при a = 0, 05 в зависимости от числа степеней свободы К приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Распределение Стьюдента при a = 0, 05

Затем производится регрессионный анализ. Он состоит из трех этапов:

1) логического анализа;

2) графического анализа;

3) определения уравнения теоретической линии регрессии, т.е. установления функциональной зависимости между признаком и фактором.

При логическом анализе эмпирических данных экономического показателя и значений влияющего на него фактора в ретроспективном периоде можно сделать некоторые предположения относительно наличия и направления связи между признаком и фактором.

На этапе графического анализа числовые значения фактора (x_i) откладываются на оси абсцисс, а значение признака (y_i)- на оси ординат. Точки на графике, соответствующие каждой паре значений x_i и y_i, образуют поле корреляции. По характеру расположения точек можно судить о направлении и форме связи. Соединив последовательно точки на плоскости, получим ломаную линию, называемую эмпирической линией регрессии. По ее виду можно предположить тип теоретической линии регрессии.

Экономико-математические модели прогноза строятся в виде уравнений регрессии, в которых в качестве зависимой переменной величины (функции) выступает экономический показатель, в качестве независимых переменных (аргументов) - формирующие его факторы.

Рассмотрим случай, когда экономический показатель зависит от одного фактора. Функция в таком случае называется однофакторной, а уравнение регрессии - парной регрессией.

Процесс нахождения теоретической линии регрессии заключается в выборе и обосновании типа кривой и расчете параметров ее уравнения. Теоретическая линия регрессии представляется в виде прямой либо плавной кривой, выражающейся математическим уравнением того или иного типа.

Наиболее распространенные математические формы связи результативного у и факторного х признаков следующие:

Линейная
Гиперболическая
Параболическая
Экспоненциальная
Степенная
Логарифмическая
Показательная

После выбора формы связи, рассчитываем параметры теоретического уравнения регрессии.

Способ расчета параметров теоретического уравнения регрессии основан на требовании максимальной близости ее к эмпирической линии регрессии. Для отыскания параметров используем метод наименьших квадратов, который основан на том, что из множества зависимостей вида у = f(x) наилучшим образом приближающейся к эмпирической линии регрессии является та, для которой сумма квадратов отклонений фактических значений признака от вычисленных по этому уравнению является наименьшей.

При линейной математической форме связи неизвестные коэффициенты и определяются из решения системы уравнений:

(2)

Решение этой системы:

(3)

Для гиперболической зависимости система нормальных уравнений имеет вид:

(4)

Для параболической зависимости система из 3-х уравнений имеет вид:

(5)

Для показательной регрессии параметры находятся из решения системы из 2-х уравнений:

(6)

Для логарифмической регрессии решается система из следующих уравнений (7) для нахождения её параметров

(7)

Системы (2), (4-7) можно решать способом алгебраического сложения, подстановки, методом Гаусса, Жордана - Гаусса, Крамера.

Если уравнение регрессии определяется в виде экспоненциальной или степенной зависимости, то путем замены и логарифмирования приводят ее к линейному виду и для линеаризованной функции используют систему нормальных уравнений вида (2)

Параметры экспоненциальной регрессии находят по формулам:

(8) y

- степенной

(9)

Оценку степени близости полученной экономико-математической модели к фактическим данным можно определить по корреляционному отношению:

(10)

Ошибка уравнения регрессии, показывающая в среднем отклонения фактических данных от теоретических, равна:

(11)

где n-m - число степеней свободы;

m - число определяемых в уравнении регрессии параметров.

Среднеквадратическое отклонение уравнения регрессии определяет меру близости эмпирических данных y_i с j_i теоретическими, найденным по уравнению регрессии.

Оценивается значимость уравнения регрессии. В связи с этим высказывается гипотеза, что все коэффициенты регрессии, кроме равны нулю (эта гипотеза называется нулевой и обозначается H₀)/

Проверка гипотезы H₀ осуществляется с помощью статистики Фишера:

(12)

где Q, Q_ост - сумма квадратов отклонений результативного признака соответственно от среднего значения и от условного среднего (х1, х2,..., хn); K1 = m; K2=n-m-1. При заданном уровне значимости a для степеней свободы К1 и К2 по таблице F - распределения

Фишера находят критическое значение F (К1, К2, a) и сравнивают его с расчетным, определенным по формуле (12). Если FVF (K!, K2, a) то гипотезу H₀ об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии отвергают и уравнение регрессии считают значимым. Если же F_F (K1, K2 a), то уравнение регрессии считают незначимым, т.е. отвергается влияние факторных признаков х1, х2,... хm на результативный. В практике статистических расчетов уровень значимости a принимают равным 0, 05. Это значит, что при F = F (К1, К2, a) вероятность того, что гипотеза Н₀ справедлива, составляет 0, 05; при F> F (К1, К2, a) все коэффициенты регрессии могут иметь нулевые значения с вероятностью, меньшей 0, 05. Если же F< F (К1, К2, a), то вероятность справедливости нулевой гипотезы становится больше 0, 05 и ею уже нельзя пренебрегать. Значения F (К1, К2, a) при a= 0, 05 приведены в таблице 2.

Таблица 2 – Распределение Фишера при a = 0, 05

Уравнение регрессии позволяет установить характер влияния факторных признаков на результативный.

По знаку коэффициента регрессии определяется направление влияния признака на результативный признак: положительный знак указывает на возрастание исследуемой величины при увеличении фактора отрицательный - на ее уменьшение.

Абсолютное значение коэффициента регрессии показывает, насколько единиц увеличится (уменьшится) результативный признак при увеличении факторного на единицу.

С помощью полученного уравнения регрессии можно определить выровненные значения показателя в ретроспективном периоде, подставив фактические значения x в уравнение регрессии. Прогноз показателя осуществляется следующим образом: в найденную функцию подставляют задаваемые значения фактора в прогнозируемом периоде и получают планируемую величину показателя.

Если имеется динамический ряд изменения экономического показателя, то процесс прогнозирования можно изобразить, как показано на рис.1.

Пусть уравнение связи y = f(t)

Y Аппроксимация Экстраполяция

0 1 2 n n+1 n+k t

Рис. 1. Процесс прогнозирования

эмпирическая линия регресии;

теоретическая линия регресии;

k - длина планируемого периода.