Йоганн Кеплер та Ісаак Ньютон

Лекція 3

Системи світу Птолемея і М. Коперника. Закони Кеплера та їх зв'язок із законами Ньютона. Видимий рух планет. Планетні конфігурації, синодичні та сидеричні періо­ди.

План

1. Розвиток уявлень про Сонячну систему

2. Видимий рух планет

3. Закони Кеплера. Закон всесвітнього тяжіння Ньютона

4.Визначення мас небесних тіл та відстаней до них

Розвиток уявлень про Сонячну систему

Перша наукова геоцентрична система світу почала формува­тися в працях Арістотеля й інших учених Давньої Греції. Свого завершення вона здобула в роботах давньогрецького астронома Птолемея. Відповідно до цієї системи в центрі світу розташована Земля, звідки й пішла назва — геоцентрична. Всесвіт обмежений кришталевою сферою, на якій розташовані зорі. Між Землею і сфе­рою рухаються планети, Сонце і Місяць. Древні вважали, що рівно­мірний коловий рух — це ідеальний рух і що небесні тіла саме так і рухаються. Але спостереження показували, що Сонце і Місяць ру­хаються нерівномірно, і для усунення цієї очевидної суперечності довелося припустити, що вони рухаються по колу, центри яких не збігаються ні з центром Землі, ні між собою. Ще більш складний петлеподібний рух планет довелося подати як суму двох колових рівномірних рухів. Така система дозволяла з достатньою для спо­стережень точністю обчислювати взаємне розташування планет на майбутнє. Петлеподібний рух планет ще тривалий час залишав­ся загадкою і знайшов своє пояснення тільки в ученні великого польського астронома Миколи Коперника.

1543 року вийшла друком його книга «Про обертання небесних сфер». У ній була викладена нова геліоцентрична система світу. Відповідно до цієї системи в центрі світу знаходиться Сонце. Пла­нети, у тому числі і Земля, обертаються навколо Сонця по колових орбітах, а Місяць — навколо Землі й одночасно із нею — навколо Сонця. Точність під час визначення положень планет збільшилася, правда, незначною мірою, але саме система Коперника дозволила просто пояснити петлеподібний рух планет. Учення Коперника за­вдало нищівного удару по геоцентричній системі світу. Воно дале­ко вийшло за рамки астрономії, давши потужний поштовх для роз­витку всього природознавства.

Видимий рух планет

Неозброєним оком ми можемо спостерігати п’ять планет — Меркурій, Венеру, Марс, Юпітер і Сатурн. Планети належать до тих світил, що не тільки беруть участь у добовому обертанні не­бесної сфери, але й зміщуються на тлі зодіакальних сузір’їв, тому що вони обертаються навколо Сонця. Саме це є причиною того, що планет, як і Сонця, немає на зоряних картах. Якщо простежити за щорічним переміщенням якоїсь планети, щотижня відзначаючи її положення на зоряній карті, то можна виявити головну особли­вість видимого руху планети: планета описує на тлі зоряного неба петлю. Це пояснюється тим, що ми спостерігаємо рух планет не з нерухомої Землі, а із Землі, що обертається навколо Сонця.

Планету за зовнішнім виглядом не легко відрізнити від зорі, тим більше, що вона не за­вжди буває значно яскравіше за неї. Планети належать до тих світил, які не тільки беруть участь у добовому обертанні небесної сфери, але ще й зміщуються на тлі зодіакальних сузір’їв. Із цією особливістю планет пов’язано саме слово «планета» — давні греки називали «блукаючі світила».

Рис.1. Петлеподібний рух Марса

Ще давні люди помітили, що планети, рухаючись по небу, роб­лять дивні петлеподібні переміщення (рис. 1). Перші моделі Соняч­ної системи, які пояснюють такий рух, були побудовані ще в Старо­давній Греції. Найвідомішою з них е система світу Птолемея.

Відповідно до розвитку ідей геліоцентризму петлеподібний рух планет почали пояснювати досить просто (рис. 2).

Рис. 2. Пояснення петлеподібного руху планет

Те, що планети під час їх спостереження із Землі рухаються по небу то зі сходу на захід, то із заходу на схід (зворотний рух), можна пояснити тим, що на рух планет навколо Сонця накладається ще й рух Землі по своїй орбіті. Моменти зміни напряму називаються стояннями. Якщо нанести цей шлях на карту, вийде петля.

Конфігурації планет

Траєкторія руху небесного тіла називається його орбітою.

Швидкості руху планет по орбітах зменшуються відповідно до віддалення планет від Сонця.

По відношенню до орбіти і умов видимості із Землі планети по­діляються на внутрішні (Меркурій, Венера) і зовнішні (Марс, Юпі­тер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон).

Зовнішні планети завжди повернені до планети й змінюють свої фази подібно до Місяця.

Площини орбіт всіх планет Сонячної системи (окрім Плутона) лежать поблизу площини екліптики, відхиляючись від неї: Мерку­рій — на 7°, Венера — на 3, 5°; в інших нахил ще менше.

Рис. 3.

Характерні взаємні положення Сонця, Землі і планет називають­ся конфігураціями. Однакові конфігурації планет відбуваються в різ­них точках їхніх орбіт, у різних сузір’ях і в різні пори року (рис. 3).

Для внутрішніх планет характерна конфігурація сполучення.

Сполученим називається таке положення планет, коли вну­трішня планета перебуває або між Землею і Сонцем, або за Сонцем. У таких випадках вона невидима. Положення планети між Зем­лею і Сонцем називається нижнім сполученням, у ньому планета знаходиться найближче до Землі. Розміщення планети за Сонцем називається верхнім сполученням, причому планета максимально віддалена від Землі.

Рис. 4. Деякі конфигурації планет: а) внутрішня планета — західна елонгація; зовнішня планета — протистояння; б) внутрішня планета — східна елонгація; зовнішня планета — сполучення; в) внутрішня планета — нижнє сполучення; зовнішня планета — західна квадратура; г) внутрішня планета — верхнє сполучення; зовнішня планета — східна квадратура. Позначення на рисунку: S — Сонце, Р₁ — внутрішня планета, Р₂ — зовнішня планета, Т — Земля.

Внутрішні планети не відходять від Сонця на великі кути (мак­симальний кут для Меркурія становить 28°, для Венери — 48°). Внутрішні планети спостерігають тільки поблизу Сонця перед його сходом та ввечері відразу після заходу Сонця. Видимість Меркурія не перевищує 1 години, видимість Венери — 4 години.

Найбільші відхилення планет від Сонця на захід називають найбільшою західною елонгацією, на схід — найбільшою східною елонгацією.

Для зовнішніх планет також можлива конфігурація сполу­чення (положення «за Сонцем»). При цьому вони невидимі для спостерігача із Землі, оскільки губляться в променях Сонця. По­ложення зовнішніх планет на прямій Земля—Сонце називається протистоянням. Це найбільш зручна конфігурація для спостере­жень планети.

Із історії астрономії

Існує легенда, начебто Микола Коперник протягом життя жод­ного разу не бачив цю планету, яка постійно ховається в променях Сонця. Дійсно, у безсмертній праці Коперника «Про обертання небесних сфер» не згадано жодного спостереження Меркурія ним особисто. У своїх розрахунках руху Меркурія Коперник викорис­товує спостереження Птолемея, його сучасника Теона, а також спостереження Б. Вольтера та І. Шонера, виконані в Нюрнберзі в 1491-1504 pp. Однак говорячи про труднощі вивчення Мерку­рія на широті Кракова, Коперник зауважує: «...усе-таки можна впіймати і його, якщо тільки взятися за це із дещо більшою хи­трістю».

У південних широтах побачити цю планету легше, ніж у північ­них. Складність у тому, що Меркурій не віддаляється від денного світила більше, ніж на 28°. Його регулярно видно то як вечірню зорю, доступну спостереженням лише в перші дві години після за­ходу Сонця, то як ранкову — за дві години до світанку. А між по­явами планети на заході і на сході минає від 106 до 130 днів; по­мітну різницю пояснюють значною видовженістю орбіти Меркурія (е = 0, 21).

1761 року очікували рідкісне небесне явище: проходження Ве­нери перед диском Сонця. Багато астрономів готувалися до цієї по­дії і навіть споряджали експедиції в далекі краї для спостережень. Адже якщо спостерігати моменти заступання Венери на сонячний диск і сходження з його з різних, віддалених один від одного пунк­тів Землі, можна обчислити відстань від Землі до Сонця (а.о.), що входить у багато формул небесної механіки.

Готувалися до спостережень і російські астрономи. їхнім орга­нізатором був М. В. Ломоносов. Він направив 2 експедиції до Си­біру: в Іркутськ (під керівництвом Н. і. Попова) і в Селенгінськ (на чолі із С. Я. Румовським), організував спостереження в Петер­бурзі, на університетській обсерваторії, а сам вирішив спостерігати це явище вдома в невелику трубу. Коли чорний диск Венери сходив із сонячного диска, Ломоносов помітив, що тонка дуга на краю Сон­ця зігнулася, ніби піднята диском Венери, й утворився яскравий виступ — «пупир», який лопнув, після чого диск Венери злився з темним тлом неба. Це явище вже у XX ст. дістало назву «явище Ломоносова»: припустивши, з чого складається атмосфера Венери, Ломоносов, підсумував своє дослідження так:

«За цими примітками пан радник Ломоносов вважає, що пла­нета Венера оточена знатною повітряною атмосферою, такою (аби не більшою), яку обливає біля нашої кулі земна».

Ломоносов опублікував свою працю російською і німецькою мовами, але вона залишилася непоміченою, і в 90-х роках XVII ст. Вільям Гершель і німецький астроном Йоганн Шретер удруге «від­крили» атмосферу Венери. Зусиллями радянських астрономів прі­оритет Ломоносова було відновлено у 50-х роках XX ст..

Видимий рух небесних світил складається з:

• переміщення спостерігача по поверхні Землі;

• обертання Землі навколо Сонця;

• власних рухів небесних тіл.

Для точних розрахунків вчені враховують рух Сонячної систе­ми відносно найближчих зір, обертання її навколо центра Галакти­ки і рух власне Галактики.

Періоди обертання планет

Синодичним періодом планети S називається проміжок часу, що протікає між повтореннями її однакових конфігурацій.

Швидкість руху планет тим більше, чим вони ближче до Сонця. Тому після протистояння Земля починає обганяти ті планети, які розташовані далі від Сонця. З часом знову відбудеться протистоян­ня, оскільки Земля обганяє планету на повний оберт.

Можна сказати, що синодичний період зовнішньої планети — це проміжок часу, після закінчення якого Земля обганяє планету на 360° у їхньому русі навколо Сонця.

Сидеричний період Т — це час, за який планета здійснює один оберт навколо Сонця по відношенню до зірок.

Між синодичним (S, в добах) і сидеричним (Т, в добах) місяця­ми існує співвідношення. Для планет, що знаходяться між Сонцем і Землею (нижніх), —

Для зовнішніх (верхніх)-

Тривалість середніх сонячних діб s для планет Сонячної сис­теми залежить від сидеричного періоду їх обертання навколо своєї осі t, напрямку обертання і сидеричного періоду обертання навко­ло Сонця.

Для планет, які мають прямий напрямок обертання навколо своєї осі (той же, в якому вони рухаються навколо Сонця)-

, для тих, які мають зворотний напрямок обертання (Вене- ра, Уран), —

Формули зв’язку синодичного і сидеричного періодів виводять за аналогією з рухом годинникових стрілок. Аналогією синодич­ного періоду S буде проміжок часу між збігом годинної і хвилин­ної стрілок, аналогією сидеричних — періоди обертання годинної стрілки (Т_г = 12 год) і хвилинної стрілки (Т₂= 1 год). Стрілки зу­стрічаються знову в різних місцях циферблата. їх кутові швидко­сті дорівнюють:

;

Упродовж синодичного періоду часу годинна стрілка описує дугу

S, хвилинна стрілка —
.

3. Закони Кеплера. Закон всесвітнього тяжіння Ньютона

Йоганн Кеплер та Ісаак Ньютон

Два найвидатніших учені набагато випередили свій час. Вони створили науку, що називається небесною механікою, тобто від­крили закони руху небесних тіл під дією сил тяжіння, і навіть якби їхні досягнення обмежилися тільки цим, вони все одно б увійшли до пантеону великих світу цього. Так трапилося, що вони не пере­тнулися в часі. Тільки через тринадцять років після смерті Кепле­ра народився Ньютон. Обидва вони були прихильниками геліоцен­тричної системи Коперника. Багато років вивчаючи рух Марса, Кеплер експериментально відкрив три закони руху планет, ще не розуміючи, чому планети рухаються так, а не інакше. (Тихо Брате, наставник Кеплера, передав своєму учневі дані десятирічних спо­стережень за рухом Марса.) Це сталося за більш ніж п’ятдесят ро­ків до відкриття Ньютоном закону всесвітнього тяжіння. Усі три закони Кеплера є наслідками закону тяжіння, який відкрив Нью­тон у 23 роки. У цей час у 1664-1667 pp. у Лондоні лютувала чума. Трініти-коледж, у якому викладав Ньютон, було розпущено на не- визначений термін, щоб не поширювати серед працівників та Студентив епідемію. Ньютон повернувся до себе на батьківщину і за два роки здійснив переворот у науці, зробивши три найважливіших відкрит­тя: диференціальне й інтегральне числення, пояснення природи світла і закон всесвітнього тяжіння. Ісаака Ньютона було урочис­то поховано у Вестмінстерському абатстві. Над його могилою ви­сочіє пам’ятник з погруддям та епітафією «Тут спочиває сер Ісаак Ньютон, дворянин, що майже божественним розумом перший до­вів зі смолоскипом математики рух планет, шляхи комет і припли­ви океанів... Нехай смертні радіють, що існувала така окраса роду людського».

Закони Кеплера

Перший закон Кеплера. Усі планети Сонячної системи обер­таються навколо Сонця по еліптичних орбітах, в одному з фокусів яких перебуває Сонце.

(Під дією сили тяжіння одне небесне тіло рухається в полі тя­жіння іншого небесного тіла по одному з конічних перерізів — колу, еліпсу, параболі або гіперболі.)

Рис. 5

Еліпсом (рис. 5) називається плоска замкнута крива, для якої сума відстаней кожної її точки від двох точок, які називаються фо­кусами, залишається сталою. Ця сума відстаней дорівнює довжині великої осі еліпса. Точка О — центр еліпса, і F₂ — фокуси. Сон­це знаходиться в цьому разі у фокусі F_l.

Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, найвіддаленіша — афелієм. Лінія, що з’єднує будь-яку точку еліп­са з фокусом, називається радіус-вектором. Відношення відстані між фокусами до великої осі (до найбільшого діаметра) називаєть­ся ексцентриситетом е. Еліпс тим сильніше витягнутий, чим біль­ший його ексцентриситет. Велика піввісь еліпса а — середня від­стань планети до Сонця.

По еліптичних орбітах рухаються і комети й астероїди. Коло має е = 0, еліпса — 0 < е < 1, парабола — е = 1, у гіперболи е > 1.

Орбіти планет — еліпси — мало відрізняються від кіл; їх ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е = 0, 017.

Орбіта небесного тіла також залежить від швидкості у певній точці простору:

Перша космічна швидкість для тіл, що рухаються по колу, для ШСЗ на низькій навколоземній орбіті — 7, 78 км/с:

Друга космічна швидкість для тіл, що рухаються по парабо­лі, — 11, 02 км/с:

Третя космічна швидкість (тіло покине Сонячну систему) — 42 км/с.

Другий закон Кеплера. Радіус-вектор планети за однакові про­міжки часу описує рівні площі: швидкість руху планет максималь­на в перигелії й мінімальна в афелії.

Так, швидкість комети Галлея в перигелії дорівнює 55 км/с, а в афелії — 0, 9 км/с. Найближчий до Сонця Меркурій оббігає на­вколо світила за 88 днів. За ним рухається Венера, і рік на ній триває 225 земних діб. Земля обертається навколо Сонця за 365 діб, тобто рівно за один рік. Марсіанський рік майже вдвічі довший від земно­го. Юпітеріанській рік дорівнює майже 12 земним рокам, а далекий Сатурн обходить свою орбіту за 29, 5 року! Словом, чим далі плане­та від Сонця, тим триваліший на ній рік. Іоганн Кеплер намагався знайти залежність між розмірами орбіт різних планет і часом їх обертання навколо Сонця. 15 травня 1618 р. після безлічі невдалих спроб Кеплер встановив нарешті дуже важливе співвідношення.

Третій закон Кеплера. Квадрати періодів обертання планет навколо Сонця відносяться як куби їхніх середніх відстаней від Сонця:

Основна задача небесної механіки — це дослідження руху небесних тіл під дією сил всесвітнього тяжіння, а саме: обчислення орбіт планет, комет, астероїдів, штучних супутників Землі, кос­мічних апаратів, зір у подвійних і кратних системах. Усі задачі в математичному плані дуже складні і за рідкісним винятком обчислюються тільки числовими методами за допомогою найпотужніших ЕОМ. Однак модельні задачі, у яких тіла розглядають як ма­теріальні точки, нехтуючи впливом інших тіл, можна розв’язати в загальному вигляді, тобто одержати формули для орбіт планет і супутників. Найпростішою вважають задачу двох тіл, коли одне значно більше за інше і система відліку пов’язана з цим тілом.

Саме для цього випадку три закони руху планет відносно Сонця німецький астроном Йоганн Кеплер вивів емпірично на початку17 століття. Кеплеру були відомі: координати Марса на небесній сфері із точністю до 2" за даними спостережень Тихо Браге; відстані планет від Сонця; синодичні і сидеричні періоди обер­тання планет.