Методика построения гистограммы

распределения результатов наблюдений

Государственный комитет СССР по стандартам в рамках Государственной системы обеспечения единства измерений разработал ГОСТ 8.207-76 " Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов измерений", в соответствии, с которым при обработке результатов многократных наблюдений необходимо выполнять следующие операции:

1) исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

2) вычислить среднее арифметическое результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

3) вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений;

4) вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

5) проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

6) вычислить доверительные границы случайной погрешности результата измерения.

Как видно из перечисленных операций, доверительные границы на результат измерения можно установить лишь после проверки результатов наблюдений на нормальность распределения.

При числе наблюдений N > 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является критерий Пирсона (критерий ).

Идея проверки по этому критерию заключается в следующем: на основании гистограмм, полученной по результатам наблюдений, выдвигается гипотеза о том, что результаты наблюдений подчиняются какому-либо закону, например, нормальному:

(1.1)

где - математическое ожидание,

- дисперсия.

Для того, чтобы принять или опровергнуть эту гипотезу, выбирается некоторая величина, представляющая собой меру расхождения теоретического и статистического распределения. По Пирсону эта мера обозначается через . Как конкретно определяется эта мера будет показано далее. Сейчас же покажем, как строится гистограмма результатов наблюдений.

1 Построение гистограммы результатов наблюдений

Гистограмма (рис.1) строится следующим образом по горизонтали откладываются результаты измерений Х (от Х доХ -основание гистограммы), а по вертикали - частостиР (либо часто­ты m ), где i - номер интервала, на которые разбит диапазон измерений; m - количество результатов измерений, попавших в i-ый интервал;

,

N - общее число результатов измерений.

При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующих правилом:

1) число r интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений согласно рекомендациям таблицы 1;

2) длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми. Однако, если распределение неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы, т.е. увеличить число r примерно в 1, 5 – 2 раза.

Рисунок 1. Фрагмент гистограммы

Таблица 1

Длина интервала определяется по следующему выражению:

, (1.2.)

где - минимальное значение результата наблюдения (измерения) ;

- максимальное значение результата наблюдения (измерения).

3) Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношения ее высоты к основанию составляло примерно 5: 8.

После построения гистограммы необходимо подобрать теоретическую кривую распределения, которая, выражая все существенные черты статистического распределения, сглаживала бы все случайности, связанные с недостаточным объемом экспериментальных данных.

Определение аналитического вида кривой распределения сводится к выбору таких значений его параметров, при которых достигается наибольшее соответствие между теоретическим и статистическим распределением (гистограммой).

Практика электрических измерений показывает, что результаты наблюдений имеют, как правило, нормальный закон распределения. За математическое ожидание в этом законе принимается X, а за дисперсию - :

, (1.3)

. (1.4)

где - результаты наблюдений;

N – количество наблюдений.

Проверка гипотезы о том, что полученное статистическое распределение подчиняется нормальному закону распределения, проводится путем вычисления величины

(1.5)

где - длина интервала;

r - число интервалов;

Рнi – теоретическое значение плотности распределения в середине i-го интервала, вычисленное по выражению (1.5); ее сравнении с табличным, значением , ( - коэффициент Пирсона, зависящий от уровня значимости q и числа степеней свободы k = r-1). В том случае, если

£ , (1.6)

то расхождение между статистическим распределением и теоретической кривой распределения несущественно, т.е. гипотеза верна.

В противном случае -

> - (1.7)

гипотеза отвергается.

Таким образом, методика построения гистограммы распределения результатов наблюдений и проверка гипотезы о том, что данное распределение подчиняется нормальному закону, включает в себя следующее:

1 Поиск минимального и максимального значений результатов наблюдений Х.

2 Разбиение всего диапазона изменения результатов наблюдений на r интервалов в зависимости от количества N набпюдений (см. табл. 1).

3 Нахождение числа значений результатов измерений (частот m ) из общего N, попавших в каждый i-ый интервал, i=1, r.

4 Определение частостейР = .

5 Построение гистограммы в осях Х- Рi (либоm ) считая, что Р на i-ом интервалеconst, с учетом изложенных ранее рекомендаций относительно масштабов.

6 Построение теоретической кривой распределения в этих же осях координат по вычисленным точкам в серединах интервалов.

7 Вычисление “меры” по выражению (1.5) данного приложения.

8 Вычисление числа степеней свободы k.

9 Определение по таблице 3, задавшись уровнем значимости q и сопоставлением с вычислением по п.7.

Таблица 2

Значение коэффициента для различных доверительных вероятностей

(распределение Стьюдента )

Таблица 3

Интегральная функция - распределение Пирсона. Значения для различных k и Р

ПРИЛОЖЕНИЕ Б