Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Выделим в покоящейся жидкости элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами , , (рис. 2.1). Отбросим окружающую жидкость, заменив ее влияние соответствующими силами гидростатического давления (на рис. 2.1). Рассмотрим только величины давлений по оси ). Полагаем, что вдоль оси слева на грань действует гидростатическое давление , а справа на такую же грань с противоположной стороны действует гидростатическое

давление . Соответственно силы давления составляют на

левую грань - , на правую грань - . По другим осям координат действуют аналогичные давления.

Рисунок 2.1 К оценке сил, действующих на элементарный объем

Помимо сил давления на рассматриваемый параллелепипед действует массовая сила (например, сила тяжести, центробежная сила и др.), проекция которой на координатную ось будет . Суммируя проекции этих сил на рассматриваемую ось, получим

, (2.3)

а после раскрытия скобок, сокращений и упрощений, при которых , имеем:

.

Аналогичным образом можно получить уравнения в проекции на оси и , и в итоге имеем систему дифференциальных уравнений равновесия жидкости Эйлера:

. (2.4)

Для установления закономерности изменения давления при изменении координат следует рассмотреть систему уравнений Эйлера (2.4). Умножим первое уравнений системы (2.4) на , второе на , третье на и сложим их:

(2.5).

Выражение в скобках представляет собой полный дифференциал давления и, решая это уравнение относительно , получим:

, (2.6)

где - полный дифференциал давления;

- проекции ускорения массовых сил на координатные оси; - приращения координат.

Уравнение (2.6) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики.