Наибольшее и наименьшее значение функции.

Hаибольшим значением функции в области называется число , если и для всех точек этой области выполняется неравенство .

Наименьшим значением функции в области называется число , если и для всех точек этой области выполняется неравенство .

Теорема Вейерштрасса. Для функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве, существует на этом множестве точка, в которой функция принимает наибольшее значение и точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Функция, дифференцируемая в ограниченной области и непрерывная на её границе, достигает своего наибольшего и наименьшего значений либо в стационарных точках, либо в граничных точках области.

Пример 4. Определить наибольшее и наименьшее значения функции в области D: , , .

Решение. Указанная область есть треугольник (рис. 1). Стационарных точек функция не имеет, так как , .

Исследуем функцию на границах области. Граница состоит из трех отрезков [ ОА ], [ АВ ], [ ОВ ]. На отрезке , значит, для точек этого отрезка , .

Таким образом, задача свелась к нахождению наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке . Так как , то функция принимает эти значения на концах отрезка, т. е. в точках и . Находим , .

Аналогично, для отрезка задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке . Они реализуются на концах отрезка, т. е. в точках и , так как . Находим .

Отрезок определяется уравнением или при . Для этого отрезка имеем или и , т. е. наибольшее и наименьшее значения функция принимает на концах отрезка , в точках и . Сравнивая все полученные значения, заключаем, что

, .

Пример 5. Положительное число требуется разбить на три неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Решение. Обозначим слагаемые , и . Ищем максимум функции . По смыслу задачи функция рассматривается внутри замкнутого треугольника , , .

. Внутренняя стационарная точка .

, , .

Матрица Гессе в стационарной точке . Так как , а , то в точке функция достигает максимума .

Поскольку на контуре треугольника , то этот максимум будет наибольшим значением.

Пример 6. (КИМ ЕГЭ 2006) Три числа, принадлежащих соответственно отрезкам , и , являются первыми членами арифметической прогрессии. Найдите, какие значения может принимать величина , где – первый член, а – разность прогрессии.

Решение. Из условия задачи имеем: . Рассмотрим функцию , определенную на шестиугольнике . , Стационарная точка не принадлежит шестиугольнику .

Найдем координаты вершин шестиугольника: , , , , , . Вычислим значения функции в вершинах: , , , , .

Значит, функция может принимать значения из отрезка .