Задача 3. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления, начертить их графики

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления, начертить их графики. Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) Найти область определения функции

2) Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва;

3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) найти асимптоты графика функции;

6) построить график, используя результаты предыдущих исследований;

7) для функции найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Решение.

1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента то есть = , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на экстремум и интервалы, монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

. Решая полученные квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки 1 рода: Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума.

	+				+
		max		min

3) Определим точки перегиба графика функции, интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

; .

Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода

Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

	–		+
	Ç	т.п.	È

Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:

4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами: ;

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

5) Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба и точки пересечения графика с осью

С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.

6) Найдем наибольшее и наименьшее значения заданной функции на отрезке Для этого посчитаем значения функции на концах этого отрезка, в критических точках 1 рода, попавших на отрезок, и сравним результаты:

Очевидно,