Тройные интегралы.

3.1. Определение тройного интеграла

Тройной интеграл является полным аналогом двойного интеграла. Пусть в некоторой трёхмерной области (V) задана непрерывная функция трёх переменных .

Разобьём область (V) произвольным образом на n элементарных областей (V_i)(i=1, 2…n) без общих внутренних точек, объёмы которых обозначим через .

Выберем в каждой части произвольную точку и составим интегральную сумму

Обозначим через λ наибольший из диаметров элементарных областей(V₁), (V₂)…. (V_n): , где .

Если существует предел интегральной суммы при λ → 0 (n→ ∞), не зависящий ни от способа разбиения области(V) наэлементарные области, ни от выбора точек в каждой элементарной области, то этот предел называют тройным интегралом от функции по области (V) и обозначают:

Функция в этом случае называется интегрируемой в области (V).

Замечание. Свойства тройных интегралов полностью аналогичны свойствам двойных интегралов.

3.2. Вычисление тройных интегралов

3.2.1. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах

Пусть – непрерывная в области (V) функция, (V) – часть пространства ограниченная сверху поверхностью , а снизу – поверхностью .

Пусть (D) – проекция области (V) на плоскость Oxy.

Границей области (D) «сверху» является график функции , «снизу» - график функции .

Проекцией области (D) на ось Ox является отрезок [ a; b ] (рис. 14)

Рис. 14

Тогда имеет место формула:

Пример

Вычислить ,
если (V) – область, ограниченная плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.

Решение Область (V) изображена на рисунке (15). Поэтому

Путем несложных вычислений можно придти к ответу .

Замечание. Если , то

где – объём области (V).

3.2.2. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

В цилиндрической системе координат положение точки M пространства определяется полярными координатами r и точки – проекции точки M на плоскость Oxy и аппликатой z самой точки M, то есть (рис. 15).

Рис. 15

Числа r, φ, z называют цилиндрическими координатами точки M.

При этом ,

При переходе к цилиндрической системе координат элемент объема равен , r -якобиан перехода.

Рис.16

Тогда справедлива формула

.

Пример Найти объём цилиндра высотой H и радиусом основания R.

Решение Изобразим данный цилиндр в системе координат Oxyz (рис. 17).

Рис. 17

3.2.3. Тройной интеграл в сферических координатах.

В сферической системе координат положение точки M в пространстве определяется расстоянием r от точки M до начала системы координат, полярным углом φ между положительным направлением оси Ox и проекцией радиус-вектора точки M на плоскость Oxy и углом θ между положительным направлением оси Oz и радиус-вектором точки M (рис. 18).

Числа r, φ, θ называют сферическими координатами точки M.

Рис. 18

При этом

, , , .

При переходе к цилиндрической системе координат элемент объёма равен , -якобиан перехода.

Рис.19

Тогда справедлива формула:

Пример Найти объём шара радиуса R.

Решение Изобразим шар в системе координат Oxyz (рис. 20).

Рис. 20

Тогда