Усеченное нормальное распределение

Плотность усеченного нормального распределения имеет следую­щий вид:

здесь - нормировочная константа.

Функция распределения равна

Будем обозначать 9, - математическое ожидание, 9₂ - среднее квадратическое отклонение. Рассмотрим последовательно вычисление оценок параметров для различных схем наблюдений.

1. Функция правдоподобия для полных наработок имеет вид

Соответствующая логарифмическая функция правдоподобия

Обозначим: тогда

Решая данную систему уравнений, получаем оценки параметров усе­ченного нормального закона распределения для случая полных нарабо­ток.

2. Для выборок, содержащих полные и цензурированные справа на­работки, функцию правдоподобия можно записать

логарифмическая функция правдоподобия равна

И, наконец, производные по параметрам определим следующим обра­зом:

3. Для выборок, содержащих полные и цензурированные слева на­работки, функция правдоподобия записывается

Далеевычисляем логарифмическую функцию

и производные для вычисления оценок параметров

4. Для группированных данных итоговые оценки получаются таким образом.

Функция правдоподобия имеет вид

логарифмическая функция правдоподобия:

Производные по параметрам равны

Как видно из приведенных выражений, для определения парамет­ров усеченного нормального закона распределения необходимо решать систему уравнений численными методами.