Разложение рациональной дроби на простейшие

Лабораторная работа 2

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Разложение рациональной дроби на простейшие

Простейшими (элементарными) дробями называются дроби вида , где , а квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Дробь называется рациональной, если её числитель и знаменатель многочлены с действительными коэффициентами. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена меньше, чем степень многочлена . Всякая неправильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и правильной дроби, поэтому интегрирование рациональной дроби всегда может быть приведено к интегрированию многочлена и правильной дроби.

Теорема (о разложении рациональной дроби на простейшие).

Пусть - правильная, несократимая рациональная дробь, а её знаменатель после разложения на множители имеет вид:

,

где – действительные числа, а квадратичные множители не имеют действительных корней. Тогда дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей. В этой сумме каждому множителю вида в знаменателе соответствует выражение вида

а каждому множителю знаменателя – выражение вида

где , , – некоторые действительные коэффициенты.

Пример. 1) ;

2) .

Для нахождения неопределенных коэффициентов , , можно применять метод неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь .

Решение.

Общий вид разложения будет таким:

Для нахождения коэффициентов применим метод неопределённых коэффициентов.

1) Приведем правую часть этого равенства к общему знаменателю , в результате получим тождество

.

2) Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители:

. (*)

3) В правой части произведём умножение двучленов и получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества (*), получаем систему четырёх уравнений первой степени с четырьмя неизвестными:

Решая систему, находим, что .

Теперь определим числа вторым способом – способом задания частных значений. Так как равенство (*) тождество, то оно сохраняется при любом значении x. Будем задавать такие значения x, чтобы в правой части все члены, кроме одного, обращались в нуль. Такими выгодными значениями являются, очевидно, корни знаменателя, т.е. значения , , . При в правой части (*) все слагаемые, кроме первого обратятся в нуль, левая часть будет равна –6, и мы получим

; .

Аналогично при левая часть равна 6, а в правой части все слагаемые, кроме второго, будут равны нулю:

При :

При :

Заметим, что каким бы способом ни вычислялись неизвестные коэффициенты, мы всегда получим для них одни и те же значения, т.к. разложение на простейшие дроби может быть осуществлено единственным образом. Итак, заданная дробь

.

1.1 Разложить на простейшие дроби следующие рациональные дроби

1 ; 6 ;

2 ; 7 ;

3 ; 8 ;

4 ; 9 ;

5 ; 10 .

1.2 Разложите на простейшие дроби рациональную дробь:

1 ; 6 ;

2 ; 7 ;

3 ; 8 ;

4 ; 9 ;

5 ; 10 .