Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского

Сформулируем общее правило интегрирования рациональных дробей.

1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.

3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Метод Остроградского

Если знаменатель правильной рациональной дроби имеет кратные корни, то интегрирование связано с громоздкими выкладками. В этом случае удобно пользоваться формулой Остроградского:

где – многочлен, имеющий те же корни, что и , но кратности 1; – частное от деления на ; и – многочлены, степени которых соответственно меньше степеней многочленов и . Для отыскания многочленов и их записывают с неопределённым коэффициентом, которые находятся после дифференцирования обеих частей формулы Остроградского.

Пример. Найдём методом Остроградского интеграл

В этом случае , поэтому

,

Следовательно, существуют многочлены и , для которых верно:

.

Дифференцируя обе части этого равенства получаем:

Откуда вытекает равенство многочленов

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:

Решая эту систему, находим . Итак,

Метод Остроградского является общим: с его помощью можно вычислить интеграл от любой рациональной дроби, при условии, что могут быть найдены все корни знаменателя. Следует иметь в виду, что другие приёмы во многих частных случаях быстрее ведут к цели.

3.1 Найти интегралы (знаменатель имеет действительные корни, но среди них нет кратных):

1 а) ; б) ; в) ;

2 а) ; б) ; в) ;

3 а) ; б) ; в) ;

4 а) ; б) ; в) ;

5 а) ; б) ; в) ;

6 а) ; б) ; в) ;

7 а) ; б) ; в) ;

8 а) ; б) ; в) ;

9 а) ; б) ; в) ;

10 а) ; б) ; в) .

3.2 Найти интегралы (знаменатель имеет действительные корни и среди них есть кратные):

1 a) ; б) ;

2 a) ; б) ;

3 а) ; б) ;

4 а) ; б) ;

5 а) ; б) ;

6 а) ; б) ;

7 а) ; б)

8 а) ; б) ;

9 а) ; б) ;

10 а) ; б) .

3.3 Найти интегралы (знаменатель содержит множители, которые не имеют действительных корней):

* Замечание. Для решения некоторых примеров потребуется применение формул сокращенного умножения, например, формулы «сумма кубов».

1 а) ; б) ; в) ;

2 а) ; б) ; в) ;

3 а) ; б) ; в) ;

4 а) ; б) ; в) ;

5 а) ; б) ; в) ;

6 а) ; б) ; в) ;

7 а) ; б) ; в) ;

8 а) ; б) ; в) ;

9 а) ; б) ; в) ;

10 а) ; б) ; в) .

Замечание. Интегралы вида легко вычисляются с помощью подстановки a+bx²=t.

3.4 Применяя метод Остроградского, найти интеграл из №3.3(в).