Интегрирование простейших рациональных дробей

Рассмотрим методы вычисления интегралов от простейших рациональных дробей.

;

;

3)

Данный интеграл вычисляется следующим образом: в числителе дроби, стоящей под интегралом, записывается производная знаменателя, т.е. . Тождественными преобразованиями из получают заданный числитель . Для этого следует умножить на и к полученному произведению прибавить . Очевидно, что

Преобразованная дробь имеет вид:

Первая дробь интегрируется методом поднесения переменного множителя под знак дифференциала, что приводит к натуральному логарифму модуля знаменателя.

Для интегрирования второй дроби в знаменателе выделяют полный квадрат:

Интеграл второй дроби приводится к табличному интегралу

, если .

Если в знаменателе дроби вместо трёхчлена x²+px+q стоит трёхчлен ax²+bx+c (a≠ 0), то коэффициент a выносится за скобку и данный случай сводится к предыдущему.

2.1 Вычислить интегралы:

1 а) ; б) ; в) .

2 а) ; б) ; в) .

3 а) ; б) ; в) .

4 а) ; б) ; в) .

5 а) ; б) ; в) .

6 а) ; б) ; в) .

7 а) ; б) ; в) .

8 а) ; б) ; в) .

9 а) ; б) ; в) .

10 а) ; б) ; в) .

4) Интеграл вида где знаменатель не имеет действительных корней, сводится к вычислению двух интегралов. Это достигается следующим образом: в числителе записывается производная основания степени знаменателя, т.е. (x²+px+q)' = 2x+p и так же, как в предыдущем пункте, эта производная преобразовывается в выражение Ax+B, стоящее в числителе:

Интегрирование первой дроби описано в пункте 3. Рассмотрим вторую дробь

. Если обозначить то

и таким образом интегрирование второй дроби в правой части сводится к интегрированию дроби . Интеграл вычисляется по формуле

где . Данная формула дает возможность найти интеграл для любого натурального .

2.2 Вычислить интегралы

1 а) ; б) ;

2 а) ; б) ;

3 а) ; б) ;

4 а) ; б) ;

5 а) ; б) ;

6 а) ; б) ;

7 а) ; б) ;

8 а) ; б) ;

9 а) ; б) ;

10 а) ; б) .