![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок).
Пусть искомая физическая величина Y является функцией измеряемой величины x. Y =f(x) Так как величина x не может быть определена абсолютно точно, то и рассчитанное значение Y будет содержать погрешность. Значение искомой функции следует находить, как функцию среднего арифметического значения измеренной величины Как определить погрешность функции, если известна погрешность аргумента? Для этого пользуются известным соотношением между дифференциалом функции df(x) и бесконечно малым приращением аргумента dx: Полагая D x» dx, а D Y» dY, получаем выражение для погрешности функции:
где D x =tp, n-1 Sx, Иногда оказывается удобнее (проще) вычислить сначала относительную погрешность, а уже зная ее, определить доверительный интервал. Учитывая то, что:
§ 3 Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных. (Формулы переноса ошибок) В общем случае искомая физическая величина может быть функцией не одной, а нескольких измеряемых величин, то есть: Y = f (X 1, X 2, … X n)* Каждая из величин X 1, X 2, … X n определяется с соответствующей погрешностьюD X 1, D X 2, … D X n. В этом случае средняя квадратичная погрешность функции будет равна корню квадратному из суммы квадратов частных производных функции по всем независимым переменным, домноженным на среднеквадратичную погрешность соответствующей величины:
В данной формуле каждая скобка под корнем представляет собой вклад погрешности соответствующей величины в погрешность функции. Если погрешности различных измеряемых величин определены с одной и той же доверительной вероятностью, то формулу можно переписать в следующем виде:
Относительная погрешность функции может быть вычислена по формуле:
Приведенные формулы справедливы для любых функциональных зависимостей, однако, они довольно громоздки, производить по ним расчеты бывает достаточно сложно, они требуют больших затрат времени. В некоторых случаях бывает удобнее использовать выражения, преобразованные для частных случаев функциональной зависимости. Рассмотрим несколько таких частных случаев.
Погрешность алгебраической суммы Пусть функция имеет вид: Y =
а выборочная дисперсия:
То есть выборочная дисперсия алгебраической суммы равна сумме выборочных дисперсий отдельных независимых переменных. Обратите внимание, на то, что в выражение для выборочной дисперсии функции все слагаемые входят со знаком «+», независимо от того, с каким знаком соответствующая величина входила в алгебраическую сумму. Погрешность произведения. Пусть функция имеет вид:
В этих случаях, воспользовавшись формулой (21) и, учитывая то, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, получаем выражение для относительной погрешности функции:
То есть относительная погрешность произведения (и частного) равна корню квадратному из суммы квадратов относительных погрешностей всех сомножителей. Также как и в случае суммы, обратите внимание, на то, что все слагаемые под корнем берутся со знаком «+», независимо от того в числитель или знаменатель выражения функции они входили. Производить расчет по этой формуле обычно гораздо проще, чем по формуле (19), а доверительный интервал искомой величины легко найти: Погрешности некоторых элементарных функций. 1. 2. 3.
|