Интерполяция по Лагранжу

Интерполяционный многочлен может быть построен при помощи специальных интерполяционных формул Лагранжа, Ньютона, Стерлинга, Бесселя и др.

Интерполяционный многочлен по формуле Лагранжа имеет вид:

Докажем, что многочлен Лагранжа является интерполяционным многочленом, проходящим через все узловые точки, т.е. в узлах интерполирования x_i выполняется условие L_n (x_i) = y_i. Для этого будем последовательно подставлять значения координат узловых точек таблицы в многочлен (2.1). В результате получим:

если x=x₀, то L_n (x₀) = y₀,

если x=x₁, то L_n (x₁) = y₁,

……………

если x=x_n, то L_n (x_n) = y_n.

Это достигнуто за счет того, что в числителе каждой дроби при соответствующем значении у_j, j=0, 1, 2, …, n отсутствует сомножитель (x-x_i), в котором i=j, а знаменатель каждой дроби получен заменой переменной х на соответствующее значение х_j.

Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа приближает заданную табличную функцию, т.е. L_n (x_i) = y_i и мы можем использовать его в качестве вспомогательной функции для решения задач интерполирования, т.е. .

Чем больше узлов интерполирования на отрезке [x₀, x_n ], тем точнее интерполяционный многочлен приближает заданную табличную функцию, т.е. тем точнее равенство:

Однако с увеличением числа узлов интерполирования возрастает степень интерполяционного многочлена n и в результате значительно возрастает объем вычислительной работы. Поэтому при большом числе узлов необходимо применять ЭВМ. В этом случае удобно находить значения функции в промежуточных точках, не получая многочлен в явном виде.

При решении задачи экстраполирования функции с помощью интерполяционного многочлена вычисление значения функции за пределами отрезка [x₀, x_n ] обычно производят не далее, чем на один шаг h, равный наименьшей величине

так как за пределами отрезка [x₀, x_n ] погрешности, как правило, увеличиваются.