Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Численный метод решения задачи
Значения f(x0), f(x1), …, f(xn), т.е. значения табличной функции в узлах, называются разделенными разностями нулевого порядка (k=0). Отношение называется разделенной разностью первого порядка (k=1) на участке [x0, x1 ] и равно разности разделенных разностей нулевого порядка на концах участка [x0, x1 ], разделенной на длину этого участка. Для произвольного участка [xi, xi+1 ] разделенная разность первого порядка (k=1) равна Отношение называется разделенной разностью второго порядка (k=2) на участке [x0, x2 ] и равно разности разделенных разностей первого порядка, разделенной на длину участка [x0, x2 ]. Для произвольного участка [xi, xi+2 ] разделенная разность второго порядка (k=2) равна Таким образом, разделенная разность k-го порядка на участке [xi, xi+k ] может быть определена через разделенные разности (k-1)-го порядка по рекуррентной формуле: (2.3) Где n – степень многочлена. Максимальное значение k равно n. Тогда i =0 и разделенная разность n-го порядка на участке [x0, xn ] равна , т.е. равна разности разделенных разностей (n-1)-го порядка, разделенной на длину участка [x0, xn ]. Разделенные разности являются вполне определенными числами, поэтому выражение (2.2) действительно является алгебраическим многочленом n-й степени. При этом в многочлене (2.2) все разделенные алгебраическим многочленом n-й степени. При этом в многочлене (2.2) все разделенные разности определены для участков [x0, x0+k ], . Лемма: алгебраический многочлен (2.2), построенный по формулам Ньютона, действительно является интерполяционным многочленом, т.е. значение многочлена в узловых точках равно значению табличной функции Докажем это. Пусть х=х0, тогда многочлен (2.2) равен Пусть х=х1, тогда многочлен (2.2) равен Пусть х=х2, тогда многочлен (2.2) равен Заметим, что решение задачи интерполяции по Ньютону имеет некоторые преимущества по сравнению с решением задачи интерполяции по Лагранжу. Каждое слагаемое интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от всех значений табличной функции yi, i=0, 1, …n. Поэтому при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n (n=N-1) интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. В многочлене Ньютона при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых в формуле Ньютона (2.2). Это удобно на практике и ускоряет процесс вычислений.
|