![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Сплайн-интерполяция
Сплайны стали широко использоваться в вычислительной математике сравнительно недавно. В машиностроительном черчении они применяются уже давно, так как сплайны – это лекала или гибкие линейки, деформация которых позволяет провести кривую через заданные точки (xi, уi). Используя теорию изгиба бруса при малых деформациях, можно показать, что сплайн – это группа кубических многочленов, в местах сопряжения которых первая и вторая производные непрерывны. Такие функции называются кубическими сплайнами. Для их построения необходимо задать коэффициенты, которые единственным образом определяют многочлен в промежутке между данными точками. Например, для некоторых функций (рис.) необходимо задать все кубические функции q1 (x), q2 (x), …qn (x). В наиболее общем случае эти многочлены имеют вид: где kij - коэффициенты, определяемые описанными ранее условиями, количество которых равно 4n. Для определения коэффициентов kij необходимо построить и решить систему порядка 4n. Первые 2n условий требуют, чтобы сплайны соприкасались в заданных точках: Следующие (2n-2) условий требуют, чтобы в местах соприкосновения сплайнов были равны первые и вторые производные: Система алгебраических уравнений имеет решение, если число уравнений соответствует числу неизвестных. Для этого необходимо ввести еще два уравнения. Обычно используются следующие условия: При построении алгоритма метода первые и вторые производные удобно аппроксимировать разделенными разностями соответствующих порядков. Полученный таким образом сплайн называется естественным кубическим сплайном. Найдя коэффициенты сплайна, используют эту кусочно-гладкую полиноминальную функцию для представления данных при интерполяции.
|