![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Локальная и Интегральная теорема Лапласа
8.1 Локальная теорема Лапласа Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n) где
Таблица функции φ (x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция φ (x) четная, следовательно, φ (- x) = φ (x) ].
8.2 Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых событиях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0< p< 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна Р(k1; k2 ) = Ф(х " ) – Ф(х'), где
Таблица функции Лапласа для положительных значений
Задача 15. Найти вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в 2500 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0, 5.
Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа Вычислим х:
По таблице приложения 1 найдем φ (6) = 0. Искомая вероятность Р2500 (1100) = 1/25 ∙ 0 = 0. Ответ: Вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в 2500 испытаниях, равна нулю.
Задача 16. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0, 6. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 55 раз и не более 80 раз; б) не менее 55 раз Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Р(k1; k2 ) = Ф(х " ) – Ф(х'), где Ф(х) – функция Лапласа,
а) По условию, n = 100; р = 0, 6; q = 0, 4; k1 = 55; k2 = 80. Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х), получим: Р100 (55; 80) = Ф(4, 08) – Ф(- 1, 02) = Ф(4, 08) + Ф(1, 02). По таблице приложения 2 найдем Ф(4, 08) = 0, 4999; Ф(1, 02) = 0, 3461. Искомая вероятность Р100 (55; 80) = 0, 4999 + 0, 3461 = 0, 846. б) Требование, чтобы событие появилось не менее 55 раз, означает, что число появлений события может быть равно 55, либо 56, …, либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять k1 = 55, k2 = 100. Тогда,
По таблице приложения 2 найдем Ф; Ф(8, 17) = 0, 5.
Искомая вероятность Р100 (55; 80) = Ф(8, 17) – Ф(- 1, 02) = 0, 5 + 0, 3461 = 0, 8461. Ответ: а) Вероятность того, что событие появится не менее 55 раз и не более 80 раз, равна 0, 846; б) Вероятность того, что событие появится не менее 55 раз, равна 0, 8461.
9. ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКЛОНЕНИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ ОТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятность того, что в n независимых испытаниях отклонение относительной частоты
P
Задача 17. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0, 8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0, 04.
Решение. По условию n=625; p=0, 8; q=0, 2; ε =0, 04. Требуется найти вероятность P
P
Имеем: P
По таблице приложения 2 найдем Φ (2, 5)=0, 4938. Следовательно, 2Φ (2, 5)= 2•0, 4938=0, 9876. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0, 9876.
|