График функции распределения

Из свойств функции распределения следует:

Ø График расположен в полосе, ограниченной прямыми y=0 и y=1;

Ø При возрастании х в интервале (a, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график “поднимается вверх”;

Ø При х ≤ a ординаты графика равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице.

График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

F(x)

a b x

10.14. Функцию распределения вероятностей случайной величины называют интегральной функцией.

По функции распределения вероятностей трудно судить о характере распределения в небольшой окрестности точки числовой оси. Для этого удобнее пользоваться плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

10.15. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x):

f(x) = F′ (x).

Функцию f(х) называют дифференциальной функцией.

10.16. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

Р(а < X < b) = f(x)dx.

Если известна плотность распределения f(x), то функция распределения F(x) находится по формуле:

F(x) = f(x)dx.

10.17. Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Ø плотность распределения – неотрицательная функция:

f(x) ≥ 0.

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью ОХ, либо на этой оси;

Ø несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ∞ до ∞ равен единице:

f(x)dx = 1.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

f(x)dx = 1.

10.18. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку

[a, b], называется определенный интеграл:

M (X) = x f(x)dx

Если возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то

М(X) = f(x)dx.

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:

D(X) = [x – M(X)]² f(x)dx,

или D(X) = x² f(x)dx – [M(x)]².

Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a, b), то

D(X) = [x – M(X)]² f(x)dx,

или D(X) = x² f(x)dx – [M(X)]^2.

Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

Задача 19. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной по данному закону ее распределения:

Решение. Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

Найдем математическое ожидание случайной величины Х:

M(X) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_nр_n = -5∙ 0, 4 + 1∙ 0, 3 + 8∙ 0, 1 + 4∙ 0, 2 = -0, 1

Напишем закон распределения для Х²:

Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины Х²:

M(X²) = х²₁ р₁+ х ²₂р₂ + … + х²_nр_n,

M(X²) = 25∙ 0, 4 + 1∙ 0, 3 + 64∙ 0, 1 + 16∙ 0, 2 = 19, 9.

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = M(X²) – [M(X)]² = 19, 9 – (-0, 1)² = 19, 89.

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

.

Ответ: Дисперсия равна 19, 89, среднее квадратическое отклонение равно 4, 46.

Задача 20. Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x). Требуется: 1) найти дифференциальную функцию (плотность вероятности); 2) найти математическое ожидание и дисперсию Х; 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций.

0 при х ≤ 0

х² _{ПРИ 0 < x ≤ 11;}

F(x) = 121

1 при х > 11.

Примечание. Для решения задачи необходимо знать:

1. (c∙ f(x))′ = c∙ (f(x))′;

2. (xⁿ)′ = n∙ x^n-1;

3. ∫ f(x)dx = F(x) + c;

4. ∫ c∙ f(x)dx = c ∫ f(x)dx;

5. ∫ (f₁(x)+f₂(x) + … +f_n(x))dx = ∫ f₁(x)dx + ∫ f₂(x)dx + … + ∫ f_n(x)dx;

xⁿ⁺¹

6. ∫ xⁿdx = _{n + 1} + c;

_{b b}

7. ∫ f(x)dx = F(x)│ = F(b) – F(a).

^{a a}

Решение.

1) Плотность распределения вероятностей равна первой производной функции распределения:

0 при x ≤ 0

f(x) = F′ (x) = 2∙ x _{при 0 < x ≤ 11}

¹²¹

^{0 при x > 11}

2) Найдем математическое ожидание:

11 11 11 11

М(Х) = ∫ x∙ f(x)dx = ∫ x∙ 2∙ x /121dx = 2/121∫ x²dx = 2/121 ∙ x³/ 3 =

0 0 0 0

= 2/362 ∙ (11³ – 0³) = 22/3 = 7, 3.

3) Найдем искомую дисперсию, учитывая, что М(Х) = 22/3:

_b

или D(X) = ∫ x² f(x)dx – [M(X)]^2.

^a

11 11

D(Х) = ∫ [x ]²∙ f(x)dx-М²(х) = ∫ (x)² ∙ 2x/121dx –(22/3)² =

_{0 0}

¹¹

=2/121(x⁴/4) –(22/3)² = 6, 72.

⁰

4) Построим графики интегральной и дифференциальной функций:

у

Х 0 11

F(x) 0 1

1

0 11 x

у X 0 11

f(x) 0 2/11

_2/11

0 11 x

Ответ: 1)Дифференциальная функция равна:

0 при x ≤ 0;

f(x) = F′ (x) = 2∙ x _{ПРИ 0 < Х ≤ 11;}

¹²¹

^{0 ПРИ Х > 11.}

2)Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(Х) = 7, 3, D(X) = 6, 72