Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Отношение.
Df1. Отношением называют пару множеств , где Рассматривают или имеют место отношения на некотором множестве М, а не просто отношение. Пример: М – множество элементов числовой оси Ф: х = у М2 – декартовый квадрат М2 = М М - связывает элементы х и у х у, через (=, >, < …) можно обозначить любое взаимное отношение между двумя элементами: х = у, х || у, х у, х у, х > у, х у, и т.д. Операции над отношениями: 1. Полное отношение
2. Пустое отношение , Ф черпает элементы из множества М. 3. Диагональное отношение ЕМ , где < х, у> Ф, х = у. Над отношениями имеют место операции как над множествами, поскольку отношения – это множества () 1) Рассмотрим операцию , где Ф М2 , где М2 , где Пример: хφ у х = у хψ у х > у х(φ ψ)у| х(= >)у = х у
2) Рассмотрим операцию , где Ф М2 , где М2 , где 3) Заданы 2 отношения φ и ψ, нужно найти их разность , где 4) 5) Дополнение Имеется некоторое отношение , где Ф М2
- дополнение отношения φ, получается путем изъятия из декартового квадрата множества точек графика
Рассмотрим операции над отношением, как над графиком 1. Инверсия: -1 , где Ф-1 М2 2. Композиция: , где Ф М2 , где М2 , где М2 x, y, z М
3. Импликация Если рассматривать 2 отношения, связанные следующим образом , где Ф М2 , где М2, то говорят, что φ имплицирует ψ, если задав пару отношением φ находим такую же пару в отношении ψ, т.е. () 4. Сужение Если задано отношение φ, то попытаемся сузить на множество А. φ А – сужение отношения φ на множество А
Отношение эквивалентности - задано отношение, оно называется эквивалентностью, если удовлетворяет следующим условиям: 1) Рефлексивность: х х а) =, х = х б) >, х> х 2) Симметричность: х у→ у х а) = х = у→ у = х б) > х > у у > х 3) Транзитивность:
Если удовлетворяет этим условиям, то говорят, что φ (эквивалентность).
Отношение эквивалентности собирает вокруг себя элементы одного класса. х~y
Классы обладают свойством собирать вокруг себя элементы, удовлетворяющие эквивалентности. С другой стороны между классами нельзя взять пару элементов, удовлетворяющих эквивалентности. Отношение φ разбивает исходное множество М на классы. Легко видеть, что а) , б) Берем исходное множество М – фактор-множества: это множество М, разбитое на классы отношением φ. Пример: Студенты факультета разбиты на курсы. Внутри курса , но , т.е нельзя приравнять первокурсника к пятикурснику. Некоторые дополнительные свойства отношений: Пусть задано отношение , где Ф М2 1) Рефлексивность: 2) Симметричность: 3) Транзитивность: 4) Антисимметричность: 5) Связанность или связность: Отношения типа порядка простейшие отношения >, < Квазипорядок – якобы порядок, не отвечает свойству рефлексивности.
|