![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Електричні коливання
7.1. Квазістаціонарний струм При розгляді коливань маємо справу з струмом, що змінюється в часі. Закони Ома, Кірхгофа залишаються справедливими лише для миттєвих значень струму і напруги, при умові, що їх зміна відбувається не достатньо швидко. Електромагнітні збурення поширюються по колу з швидкістю світла. Нехай довжини кола чисельно дорівнює l і якщо за час Для струмів, що періодично змінюються, умова квазістаціонарності має вигляд:
де Т – період даних змін. 7.2. Коливальний контур. Вільні коливання в контурі без активного опору В колі, що має індуктивність і ємність, можуть виникати електричні коливання. Таке коло називається коливальним контуром. Коливання в контурі можна викликати, надавши обкладкам конденсатора певний початковий заряд або збудивши в індуктивності струм (наприклад, шляхом вимкнення зовнішнього магнітного поля, що пронизує витки котушки). Використаємо перший спосіб. Під’єднаємо відімкнений від індуктивності конденсатор до джерела напруги. Це призведе до виникнення на його обкладках різнойменних зарядів +q і –q (стадія 1). Між обкладками виникає електричне коло, енергія якого
Рис.7.1 Оскільки активний опір контуру дорівнює нулю, повна енергія, що складається з енергії електричного і магнітного полів не витрачається на нагрівання і буде залишатись постійною. Тому в момент, коли напруга на конденсаторі, а відповідно – і енергія електричного поля обертається в 0, енергія магнітного поля, а отже і струм, досягають найбільшого значення (стадія 2; починаючи з цього моменту струм тече за рахунок ЕРС самоіндукції).
Знайдемо рівняння коливань в контурі без активного опору. Будемо вважати позитивним струм, який заряджає конденсатор. Тоді
Рис. 7.2 Запишемо для кола 1-3-2 (рис. 7.2) вираз закону Ома
В нашому випадку R=0,
Замінивши dI/dt через
Якщо ввести позначення
Розв’язком цього рівняння є функція
Таким чином, заряд на обкладках конденсатора змінюється по гармонічному закону з частотою, що визначається виразом (7.1.5). Ця частота називається власною частотою контуру (вона відповідає власній частоті гармонічного осцилятора). Для періоду коливань отримуємо, так звану, формулу Томсона:
Напруга на конденсаторі відрізняється від заряду множником 1/С:
Про диференціювавши функцію (7.1.7) по часу, отримаємо вираз для сили струму
Таким чином, сила струму випереджає по фазі напругу на конденсаторі на Зіставлення формул (7.1.7) і (7.1.9) з формулою (7.1.10) показує, що в момент, коли струм досягає найбільшого значення, заряд і напруга обертаються в 0 і навпаки. Це співвідношення між зарядом і струмом також було встановлено з енергетичних міркувань. З формул (7.1.9) і (7.1.10) слідує, що
Взявши відношення цих амплітуд, отримаємо
Цю формулу можна отримати також виходячи з того, що найбільше значення енергії електричного поля повинно дорівнювати найбільшому значенню енергії магнітного поля. 7.3. Вільні затухаючі коливання Будь-який реальний контур володіє активним опором. Енергія, накопичена в контурі, поступово витрачається в цьому опорі на нагрівання, внаслідок чого вільні коливання затухають. Рівняння (7.1.2), записане для кола 1-3-2, зображеного на рис.6.3, має вигляд
Врахувавши (7.1.5) і позначивши
рівнянню (7.2.2) можна надати вигляд
Рис.7.3 Останнє рівняння співпадає з диференціальним рівнянням затухаючих механічних коливань. За умови, що
де
Таким чином, частота затухаючих коливань Розділимо функцію (7.2.5) на ємність С і отримаємо напругу на конденсаторі:
Щоб знайти силу струму необхідно про диференціювати (7.2.5) по часу:
Введемо кут
Тоді можна записати:
Оскільки
Затухання коливань прийнято характеризувати логарифмічним дикриментом затухання.
де а(t) – амплітуда відповідної величини (q, U чи I). Рис. 7.4 Логарифмічний дикримент затухання обернений до числа коливань Nе, що здійснюються за час, протягом якого амплітуда зменшується в е раз:
Підставивши в (7.2.9) значення (7.2.3) отримаємо наступний вираз:
Частота Якщо затухання невелике
Коливальний контур часто характеризують його добротністю, яка визначається як величина, обернено пропорційна логарифмічному дикрименту затухання:
З рівняння (7.2.12) випливає, що добротність контуру тим вища, чим більше число коливань встигає здійснитися до того, як амплітуда зменшиться в е раз. У випадку слабкого затухання
При слабкому затуханні добротність механічної коливальної системи дорівнює відношенню енергії, накопиченої в системі в даний момент, до зменшення цієї енергії за один період коливань. Покажемо, що це справедливо і для електричних коливань. Амплітуда сили струму в контурі зменшується за законом
При незначному затуханні (тобто за умови, що
Замінивши логарифмічний дикримент затухання на добротність:
7.4. Вимушені електричні коливання. Резонанс Для того, щоб викликати вимушені коливання потрібно здійснювати на систему зовнішню періодично змінну дію. У випадку електричних коливань це можна здійснити, якщо увімкнути послідовно з елементами контуру змінну ЕРС або, розірвавши контур, подати на контакти, що утворилися змінну напругу (рис.7.5)
Рис.7.5 Цю напругу потрібно додати до ЕРС самоіндукції. В результаті формула (7.2.1) набуде вигляду
Виконавши перетворення, отримаємо рівняння
Рівняння (7.3.3) співпадає з рівнянням вимушених механічних коливань. Частинний розв’язок цього рівняння має вигляд
де Підставимо значення
Продиференціювавши рівняння (7.3.4) по часу, знайдемо силу струму а контурі при встановлених коливаннях:
Запишемо цей вираз у вигляді
де
З цієї формули слідує, що струм відстає по фазі від напруги в тому випадку, коли
Представимо співвідношення (7.3.2) у вигляді
Добуток IR дорівнює напрузі UR на активному опорі, q/C є напругою на конденсаторі UC, вираз L(dI/dt) визначає напругу на індуктивності UL. З урахуванням цього можна записати
Таким чином, сума напруг на окремих елементах контуру дорівнює в кожний момент часу напрузі, прикладеній ззовні (рис.7.5). Відповідно до (7.3.7)
Розділивши вираз (7.3.4) на ємність отримаємо напругу на конденсаторі
Помноживши похідну функції (7.3.7) на L, отримаємо напругу на індуктивності:
З наведених формул видно, що напруга на ємності відстає по фазі від сили струму на π /2, а напруга на індуктивності випереджає струм на π /2. Напруга на активному опорі змінюється у фазі зі струмом. Фазові співвідношення можна представити у вигляді векторної діаграми (рис. 7.6). Резонансна частота для заряду q і напругу на конденсаторі UC дорівнює
Резонансні криві для UC зображені на рис.7.7 (резонансні криві для q мають такий же вигляд). При Резонансні криві для сили струму показані на рис. 7.8. Вони відповідають резонансним кривим для швидкості при механічних коливаннях. Амплітуда сили струму має максимальне значення при
Рис. 7.6 Відрізок, що відтинається резонансними кривими на осі Іm, дорівнює нулю – при постійній напрузі встановлений струм в колі з конденсатором протікати не може. У випадку малого затухання (при β 2 < < ω 02) резонансну частоту для напруги можна вважати рівною нулю. Відповідно можна вважати, що
Тут Q – добротність контуру. Таким чином, добротність контуру показує, у скільки разів напруга на конденсаторі може перевищити прикладену до контуру напругу. Добротність контуру визначає також гостроту резонансних кривих. Можна показати, що відношення широти резонансної кривої, взятої на висоті 0, 7 до резонансної частоти дорівнює величині, оберненій до добротності контура:
Рис.7.7 Рис.7.8 Рис.7.9
Питання для самоконтролю 1. Що називається квазістаціонарним струмом? 2. Як виникають коливання в коливальному контурі без активного опору? 3. Що називається коливальним контуром? 4. Які коливання називаються згасаючими? Рівняння згасаючих коливань? 5. Рівняння вимушених коливань 6. Які характеристики коливального контуру при вимушених коливаннях ви знаєте? 7. Розкажіть про явище резонансу? 8. Як отримати векторну діаграму напруг? 9. Як залежить логарифмічний декремент затухання та добротність від опору?
|