II. Параллелепипед. Куб.

Определение. Параллелепипедом называется призма, основания которой – параллелограммы.

Для параллелепипеда справедливы следующие утверждения:

– все грани параллелепипеда – параллелограммы;

– противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны;

– диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Определение. Параллелепипед называется прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны основаниям, то есть его боковые грани – прямоугольники.

Определение. Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если его основания – прямоугольники.

Определение. Кубом (гексаэдром) называется прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами. Его гранями являются равные квадраты.

III. Объём и площадь поверхности призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба.

Здесь и далее: V – объём, S_пов – площадь полной поверхности, S_осн – площадь основания, S_бок – площадь боковой поверхности.

721. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если

а) ABCD – квадрат со стороной 2, а AA₁ = 3;

б) AB = 6, AC = 10, AB₁ = 10;

в) ABCD – квадрат со стороной 4, а диагональ AC₁ = 6;

г) ABCD – квадрат со стороной 4, а диагональ AC₁ наклонена к основанию под углом 45⁰;

д) AB = 2, BC = 4, а плоскость AB₁C₁ наклонена к плоскости ABC под углом 60⁰.

722. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) его измерения 2 см, 3 см и 4 см;

б) площадь его основания 3 см², а высота 5 см;

в) диагональ его основания равна 5 м, одна из сторон основания равна 4 м, а высота равна 2 м;

г) высота равна 3 см, диагональ его основания равна 2 см, а угол, образованные ею с одной из сторон основания, равен 30°.

723. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 80 см³. Найдите:

а) его высоту, если площадь основания равна 40 см²;

б) площадь его основания, если его высота равна 8 см.

724. Два измерения прямоугольного параллелепипеда равны 10 см и 2 см. Установите:

а) может ли такой параллелепипед иметь объём, больший 100 см³;

б) может ли такой параллелепипед иметь объём, меньший 20 см³;

в) можно ли такой параллелепипед, имеющий объём, больший 40 см³, поместить внутрь прямоугольного параллелепипеда с измерениями 11 см, 3 см и 1 см.

г) Параллелепипед рассматриваемого вида, объём которого больше 40 см³, но меньше 60 см³, хотят поместить внутрь куба так, чтобы его грани были параллельны граням куба; какую длину ребра должен иметь куб, чтобы это удалось сделать?

725. Резервуар имеет форму прямоугольного параллелепипеда и сделан из бетона. Его внутренние размеры – 10 м, 12 м и 4 м. Толщина бетонных стенок и дна 0, 5 м. Найдите объём резервуара и объём бетона, израсходованного на постройку.

726. Взят лист бумаги размером 20х16 см. Из него двумя способами сложили боковые поверхности прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Определите, какой из этих параллелепипедов будет иметь больший объём.

727. Ширина комнаты 4 м, длина 5м, а высота потолка 3м. Общая площадь окон и двери 8 м². Найдите площадь обоев, которыми оклеены стены.

728. Прямоугольный параллелепипед с измерениями 1 м, 3 м и 5 м помещён внутрь куба с ребром 6 м. Сделайте рисунок для такого случая и найдите объём свободного места внутри куба.

729. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол 30° с плоскостью боковой грани и угол 45° с боковым ребром. Найдите объём параллелепипеда.

730. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет угол α с плоскостью боковой грани и β с плоскостью основания. Найдите объём параллелепипеда, если его высота равна h.

731. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a и b. Диагональ параллелепипеда составляет с боковой гранью, содержащей сторону основания, равную b, угол 30°. Найдите объём параллелепипеда.

732. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если: а) АC₁ = 1 м, угол C₁АC равен 45°, угол C₁АВ равен 60°; б) АC₁ = 24 см, угол C₁АA₁ равен 45°, диагональ АC₁ составляет угол 30° с плоскостью боковой грани.

733. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если:

а) его диагональ равна 1 см, угол, образованные ею с плоскостью основания, равен 45°, а угол, образованный диагональю основания с одной из его сторон, равен 30°;

б) плоскость, проходящая через параллельные и не лежащие в одной боковой грани рёбра верхнего и нижнего оснований, наклонена к основанию под углом 60°, а стороны основания равны 3 см и 4 см.

734. Найдите объём куба, если его диагональ равна d.

735. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6, 16 и 18. Найдите ребро равновеликого ему куба.

736. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб со стороной 2 и острым углом 30°. Высота параллелепипеда равна 3. Найдите объём параллелепипеда.

737. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 4 и 6. Высота параллелепипеда равна 4. Найдите его объём.

738. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм. Найдите его объём, если:

а) высота параллелепипеда 3 см, стороны основания 4 см и 5 см, а один из углов основания 135°;

б) высота параллелепипеда 5 см, диагонали основания 6 см и 10 см, а угол между диагоналями 30°.

739. Найдите объём прямого параллелепипеда, основание которого параллелограмм, если стороны параллелограмма равны 8 см и 15 см и образуют угол 60°, а меньшая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 30°.

740. Рассматривается правильная четырёхугольная призма. Найдите её объём, если:

а) её высота равна 2, а диагональ основания 3;

б) диагональ основания равна 3, а диагональ призмы

741. Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ – правильная четырёхугольная призма, высота которой равна 2. Объясните:

а) может ли площадь её полной поверхности быть равной 10?

б) какие значения может принимать площадь её полной поверхности, если длина стороны основания принимает все значения из отрезка [ 1; 3].

742. Найдите объём правильной n-угольной призмы, у которой каждое ребро равно a, если: а) n = 3; б) n = 4; в) n = 6; г) n = 8.

743. В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противолежащую ей вершину верхнего основания проведено сечение, составляющее угол 60° с плоскостью основания. Найдите объём призмы, если сторона основания равна a.

744. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна 8 см и составляет с боковым ребром угол 30°. Найдите объём призмы.

745. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 35 см². Найдите площадь боковой поверхности призмы.

746. В основании прямой призмы лежит треугольник. Найдите её объём, если:

а) её высота равна 3, а стороны основания 3, 4 и 5;

б) её высота равна 2, а все стороны основания равны 3;

в) её высота равна 1, а стороны основания равны 13, 13 и 10;

г) её высота равна 5, две стороны основания равны 3 и 4, а угол между ними равен 45°.

747. В основании прямой призмы с высотой, равной 5, лежит трапеция. Найдите объём призмы, если:

а) трапеция прямоугольная с основаниями 4 и 2 и высотой 3;

б) трапеция равнобедренная с боковыми сторонами длины 10 и основаниями 18 и 6.

748. Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если АВ=ВС=m, угол ABC равен φ и ВВ₁ = BD, где BD – высота треугольника АВС.

749. Основанием прямой призмы является параллелограмм. Через сторону основания, равную a, и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, составляющее угол β с плоскостью основания. Площадь сечения равна Q. Найдите объём данной призмы.

750. Найдите объём треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, высота которой 3, если:

а) АВС – прямоугольный треугольник с катетами 2 и 4;

б) АВС – равносторонний треугольник со стороной 1.

751. Найдите объём треугольной призмы АВСА₁В₁С₁, если:

а) площадь основания АВС равна 5 см², а боковое ребро АА₁ равно 2 см и наклонено к плоскости основания под углом 30°;

б) АВС – равносторонний треугольник со стороной 3 см, а боковое ребро ВВ₁ равно 3 см и наклонено к плоскости основания под углом 45°.

в) АВС – треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а высота А₁М грани АА₁В₁В наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 2.

г) АВС – треугольник со сторонами 6, 8 и 10, высота боковой грани АА₁В₁В равна 4, а угол между основанием и этой гранью равен 45°.

752. Рассматривается единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. В куб хотят поместить призму, объём которой равен 0, 5, так, чтобы её основанием был треугольник АВС. Объясните, удастся ли это сделать.

753. Найдите объём параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, если:

а) его основанием служит квадрат со стороной 1, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30° и равно 2;

б) его основание – параллелограмм со сторонами 2 и 3 и острым углом 45°, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60° и равно 2;

в) его основание ABCD – прямоугольник со сторонами АВ = 6 см и AD = 8 см, вершина A₁ проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника, а грань АА₁В₁В наклонена под углом 30° к основанию.

754. Грани ABCD и АА₁В₁В параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ – квадраты. Ребро АA₁ наклонено под углом 45° к плоскости АВС, АВ = 2.

а) Найдите объём данного параллелепипеда.

б) Найдите высоту параллелепипеда, опущенную из точки С на грань АА₁В₁В.

755. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами a и b. Боковое ребро равно и составляет со смежными сторонами основания углы, равные φ. Найдите объём параллелепипеда.

756. Все грани параллелепипеда – равные ромбы, диагонали которых равны 6 см и 8 см. Найдите объём параллелепипеда.