Новый обскурантизм и Российское просвещение 2 страница

Доклад был очень удачным, и докладчика много хвалили. Но он настаивал на другом одобрении: ему хотелось, чтобы его выводы были признаны правильными.

В конце концов Бахрушин сказал ему: " Этот доклад обязательно нужно опубликовать; он очень интересен. Но что касается выводов, то у нас, историков, для признания какого-либо вывода всегда нужно не одно доказательство, а по меньшей мере пять! "

На следующий день Колмогоров сменил историю на математику, где одного доказательства хватает. Доклад же он не опубликовал, и этот текст так и лежал в его архиве, пока, после смерти Андрея Николаевича, он не был показан современным историкам, которые признали его не только очень новым и интересным, но и вполне доказательным. Теперь этот доклад Колмогорова опубликован, и рассматривается сообществом историков как выдающийся вклад в их науку.

Сделавшись профессиональным математиком, Колмогоров остался, в отличие от большинства из них, прежде всего естествоиспытателем и мыслителем, а вовсе не умножателем многозначных чисел (что главным образом представляется при анализе деятельности математиков незнакомым с математикой людям, включая даже Л.Д.Ландау, ценившего в математике именно продолжение счётного мастерства: пятью пять — двадцать пять, шестью шесть — тридцать шесть, семью семь — сорок семь, как я прочитал в пародии на Ландау, составленной его физтеховскими учениками; впрочем, в письмах Ландау ко мне, бывшему тогда студентом, математика не логичнее, чем в этой пародии).

Маяковский писал: " Ведь зато он может ежесекундно извлекать квадратный корень" (о профессоре, которому " не нудно, что под окном приготовишки деятельно ходят в гимназию").

Но он же прекрасно описал, что такое математическое открытие, сказав, что " Тот, кто открыл, что дважды два — четыре, был великим математиком, даже если он открыл это, считая окурки. А тот, кто сегодня считает по той же формуле гораздо большие предметы, например локомотивы, совсем не математик! "

Колмогорова, в отличие от многих других, прикладная, " локомотивная" математика никогда не отпугивала, и он радостно применял математические соображения к самым разным областям человеческой деятельности: от гидродинамики до артиллерии, от небесной механики до стихосложения, от миниатюризации компьютеров до теории броуновского движения, от расходимости рядов Фурье до теории передачи информации и до интуиционистской логики. Он смеялся тому, что французы пишут " Небесная механика" с заглавной буквы, а " прикладная" — с малой.

Когда я впервые приехал в Париж в 1965 году, меня горячо приветствовал престарелый профессор Фреше, со следующими словами: " Ведь Вы — ученик Колмогорова, того молодого человека, который построил пример почти всюду расходящегося ряда Фуръе! "

Упомянутая здесь работа Колмогорова была им выполнена в девятнадцатилетнем возрасте, решила классическую задачу и сразу же выдвинула этого студента в ранг первоклассных математиков мирового значения. Сорок лет спустя это достижение всё ещё оставалось для Фреше более значительным, чем все последующие и гораздо более важные фундаментальные работы Колмогорова, перевернувшие во всем мире и теорию вероятностей, и теорию функций, и гидродинамику, и небесную механику, и теорию аппроксимаций, и теорию алгоритмической сложности, и теорию когомологий в топологии, и теорию управления динамическими системами (где неравенства Колмогорова между производными разных порядков и сегодня остаются одним из высших достижений, хот специалисты по теории управления редко это понимают).

Но сам Колмогоров всегда несколько скептически относился к своей любимой математике, воспринимая её как маленькую часть естествознания и легко отказываясь от тех логических ограничений, которые накладывают на правоверных математиков путы аксиоматически-дедуктивного метода.

" Было бы напрасно, — говорил он мне, — искать в моих работах о турбулентности математическое содержание. Я выступаю здесь как физик и совершенно не забочусь о математических доказательствах или выводах своих заключений из исходных предпосылок, вроде уравнений Навье-Стокса. Пусть эти заключения не доказаны — зато они верны и открыты, а это куда важнее, чем доказать их! "

Многие открытия Колмогорова не только не доказаны (ни им самим, ни его последователями), но даже не опубликованы. Но тем не менее, они уже оказали и продолжают оказывать решающее влияние на целый ряд отделов науки (причём далеко не только математической).

Приведу лишь один знаменитый пример (из теории турбулентности).

Математической моделью гидродинамики является динамическая система в пространстве полей скоростей жидкости, описывающая эволюцию начального поля скоростей частиц жидкости под влиянием их взаимодействия: давления и вязкости (а также под возможным влиянием внешних сил, например, силы веса в случае реки или напора воды в водопроводе).

Под действием этой эволюции динамическая система может придти к равновесному (стационарному) состоянию, когда скорость потока в каждой точке области течения не меняется со временем (хотя всё течёт, и каждая частица движется и меняет со временем свою скорость).

Такие стационарные течения (например, ламинарные течения в терминах классической гидродинамики) являются притягивающими точками динамической системы. Их называют поэтому (точечными) аттракторами (притягивателями).

Возможны и другие притягивающие соседей множества, например — замкнутые кривые, изображающие в функциональном пространстве полей скоростей периодически меняющиеся со временем течения. Аттрактором такая кривая является тогда, когда соседние начальные условия, изображаемые близкими к указанной замкнутой кривой " возмущёнными" точками функционального пространства полей скоростей, начинают хотя и не периодически меняющееся со временем течение, но приближаются к таковому (а именно, возмущённое течение стремится к описанному ранее периодическому с течением времени).

Пуанкаре, впервые открывший это вление, назвал такие замкнутые кривые-аттракторы " устойчивыми предельными циклами ". С физической точки зрения их можно назвать периодическими установившимися режимами течения: возмущение постепенно затухает при переходном процессе, вызванном возмущением начального условия, и через некоторое время отличие движения от невозмущённого периодического становится малозаметным.

После Пуанкаре подобные предельные циклы много исследовал А. А. Андронов, основавший на этой математической модели исследование и расчёт генераторов радиоволн, то есть радиопередатчиков.

Поучительно, что открытая Пуанкаре и разработанная Андроновым теория рождения предельных циклов из теряющих устойчивость положений равновесия называется сегодня обычно (даже в России) бифуркацией Хопфа. Э.Хопф опубликовал часть этой теории через пару десятков лет после публикации Андронова и более, чем через полвека после Пуанкаре, но он в отличие от них жил в Америке, так что сработал известный эпонимический принцип: если какой-либо объект носит чьё-либо имя, то это не имя первооткрывателя (например, Америка носит имя не Колумба).

Английский физик М. Берри назвал этот эпонимический принцип " принципом Арнольда", дополнив его ещё вторым. Принцип Берри: Принцип Арнольда применим к самому себе (то есть был известен и раньше).

В этом я с Берри совершенно согласен. Сообщил же я ему эпонимический принцип в ответ на препринт о " фазе Берри", примеры которой, ничуть не уступающие общей теории, за десятки лет до Берри были опубликованы С. М. Рытовым (под названием " инерции направления поляризации") и А.Ю.Ишлинским (под названием " ухода гироскопа подводной лодки вследствие несовпадения пути возвращения на базу с путём ухода от неё"),

Вернёмся, однако, к аттракторам. Аттрактор, или притягивающее множество, — это установившийся режим движения, которое, однако, не обязано быть периодическим. Математики исследовали и куда более сложные движения, которые также могут притягивать возмущённые соседние движения, но которые сами могут быть крайне неустойчивыми: малые причины, вызывают порой большие следствия, говорил Пуанкаре. Состояние, или " фаза", такого предельного режима (то есть точка на поверхности аттрактора) может двигаться вдоль поверхности аттрактора причудливым " хаотическим" образом, и небольшое отклонение начальной точки на аттракторе может сильно изменить ход движения, вовсе не меняя предельного режима. Средние за большие времена от всевозможных наблюдаемых величин будут близкими в исходном и в возмущённом движении, но детали в фиксированный момент времени будут, как правило, совершенно разными.

В метеорологических терминах " предельный режим" (аттрактор) можно уподобить климату, а фазу — погоде. Небольшое изменение начальных условий может сильно повлиять на завтрашнюю погоду (а ещё сильнее — на погоды через неделю и через месяц). Но от такого изменения тундра ещё не станет тропическим лесом: просто гроза вместо вторника может разразиться в пятницу, что средних за год (и даже за месяц) может и не изменить.

В гидродинамике степень затухания начальных возмущений характеризуют обычно вязкостью (так сказать, взаимным трением частиц жидкости при их движении одной относительно другой), или же обратной вязкости величиной, называемой " числом Рейнолъдса". Большие значения числа Рейнольдса соответствуют слабому затуханию возмущений, а большие значения вязкости (то есть малые числа Рейнольдса) — напротив, регуляризуют течение, препятствуя возмущениям и их развитию. В экономике роль " вязкости" часто играют взятки и коррупция¹.

¹ Многоступенчатое управление производством неустойчиво, если число ступеней (рабочий, мастер, начальник цеха, директор завода, главк и т.д.) больше двух, но может реализовываться устойчивым образом, если хотя бы некоторые из руководителей поощряются не только сверху (за выполнение приказов), но и снизу (ради пользы дела, за способствующие производству решения). Для последнего поощрения и употребляется коррупция. Подробности см. в статье: В. И. Арнольд. Математика и математическое образование в современном мире. В кн.: Математика в образовании и воспитании. — М.: ФАЗИС, 2000, с. 195-205.

Вследствие большой вязкости, при малых числах Рейнольдса обычно устанавливается устойчивое стационарное (ламинарное) течение, изображаемое в пространстве полей скоростей точечным аттрактором.

Основной вопрос состоит в том, как будет меняться характер течения при повышении числа Рейнольдса. В водопроводе это соответствует, например, увеличению напора воды, делающему неустойчивой гладкую (ламинарную) струйку из-под крана, но математически для увеличения числа Рейнольдса удобнее уменьшать выражающий вязкость коэффициент трения частиц (что в эксперименте потребовало бы технически сложной замены жидкости). Впрочем, иногда для изменения числа Рейнольдса достаточно менять температуру в лаборатории. Я видел в Новосибирске такую установку в Институте точных измерений, где число Рейнольдса менялось (в четвёртом знаке), когда приближал свою руку к цилиндру, где происходило течение (именно вследствие изменения температуры), причём на экране компьютера, обрабатывающего опыт, это изменение числа Рейнольдса немедленно указывалось электронной автоматикой.

Думая об этих явлениях перехода от ламинарного (устойчивого стационарного) течения к бурному турбулентному, Колмогоров давно уже высказал целый ряд гипотез (которые и сегодня остаются недоказанными). Я думаю, что эти гипотезы относятся ко времени (1943) его спора с Ландау о природе турбулентности. Во всяком случае, он явно их формулировал на своём семинаре (по гидродинамике и теории динамических систем) в Московском Университете в 1959 году, где они были даже частью вывешенного им тогда объявления о семинаре. Но никакой формальной публикации этих гипотез Колмогоровым я не знаю, и на Западе их обычно приписывают своим эпигонам Колмогорова, узнавшим о них и опубликовавшим их десятками лет позже.

Сущность этих гипотез Колмогорова состоит в том, что по мере увеличения числа Рейнольдса аттрактор, соответствующий установившемуся режиму течения, становится всё более сложным, а именно — что увеличивается его размерность.

Сначала это точка (нульмерный аттрактор), потом окружность (предельный цикл Пуанкаре, одномерный аттрактор). И гипотеза Колмогорова об аттракторах в гидродинамике состоит из двух утверждений: при росте числа Рейнольдса 1) появляются аттракторы всё больших размерностей; 2) исчезают все маломерные аттракторы.

Из 1 и 2 вместе вытекает, что когда число Рейнолъдса достаточно велико, установившийся режим непременно имеет много степеней свободы, так что для описания его фазы (точки на аттракторе) нужно задавать много параметров, которые затем, при движении вдоль аттрактора, будут прихотливым и непериодическим " хаотическим" образом меняться, причём малое изменение начальной точки на аттракторе приводит, как правило, к большому (через большое время) изменению " погоды" (текущей точки на аттракторе), хотя и не изменяет сам аттрактор (то есть не вызовет изменени " климата").

Само по себе утверждение 1 здесь недостаточно, так как могут сосуществовать разные аттракторы, в том числе и аттракторы разных размерностей в одной системе (которая, таким образом, сможет совершать спокойное " ламинарное" движение при одних начальных условиях и бурное " турбулентное" при других, в зависимости от своего начального состояния).

Экспериментальное наблюдение таких эффектов " затягивания потери устойчивости" долго удивляло физиков, но Колмогоров добавил, что даже в случае неисчезновения маломерного аттрактора он может не менять наблюдаемой турбулентности в том случае, когда размер зоны его притяжения сильно падает с ростом числа Рейнольдса. В этом случае ламинарный режим, хотя и возможен в принципе (и даже устойчив), практически не наблюдается из-за крайней малости области своего притяжения: уже небольшие, но всегда имеющиеся в эксперименте возмущения, могут выводить систему из зоны притяжения этого аттрактора в зону притяжения другого, уже турбулентного, установившегося режима, который и будет наблюдаться.

Это обсуждение может объяснить и такое странное наблюдение: некоторые знаменитые гидродинамические эксперименты XIX века не удавалось повторить во второй половине XX века, хотя при этом пытались использовать ту же аппаратуру в той же лаборатории. Оказалось, однако, что старый эксперимент (с его затягиванием потери устойчивости) удается повторить, если делать его не в старой лаборатории, а в глубокой подземной шахте.

Дело в том, что современное уличное движение сильно повысило величину " незаметных" возмущений, которые и стали сказываться (вследствие малости зоны притяжения сохраняющегося " ламинарного" аттрактора).

Многочисленные попытки многих математиков подтвердить гипотезы Колмогорова 1 и 2 (или хотя бы первую) доказательствами привели пока только к оценкам размерностей аттракторов через числа Рейнолъдса сверху: эта размерность не может стать слишком большой, пока вязкость этому препятствует.

Размерность оценивается в этих работах степенной функцией от числа Рейнольдса (то есть отрицательной степенью вязкости), причём показатель степени зависит от размерности пространства, где происходит течение (в трёхмерном течении турбулентность сильнее, чем в плоских задачах).

Что же касается наиболее интересной части задачи, то есть оценки размерности снизу (хотя бы для некоторых аттракторов, как в гипотезе 1, или даже для всех, как в гипотезе 2, по поводу которой Колмогоров выражал больше сомнений), то здесь математики оказались не на высоте, так как, по своей привычке, подменили реальную естественнонаучную задачу своей формально-аксиоматической абстрактной формулировкой с её точными, но предательскими определениями.

Дело в том, что аксиоматическое понятие аттрактора было сформулировано математиками с потерей некоторых свойств физического предельного режима движения, каковое (не определённое строго) понятие математики и пытались аксиоматизировать, вводя термин " аттрактор".

Рассмотрим, например, аттрактор, вляющийся окружностью (к которой спирально приближаются все близкие траектории динамики).

На самой же этой притягивающей соседей окружности динамика пусть устроена так: две противоположные точки (на концах одного диаметра) неподвижны, но одна из них — аттрактор (притягивает соседей), а другая — репульсор (отталкивает их).

Например, можно представить себе вертикально стоящую окружность, динамика на которой сдвигает вдоль окружности вниз любую точку, кроме остающихся неподвижными полюсов:

аттрактора внизу и репульсора наверху.

В этом случае, несмотря на существование в системе одномерного аттрактора-окружности, физически установившимся режимом будет только устойчивое стационарное положение (нижний аттрактор в приведённой выше " вертикальной" модели).

При произвольном малом возмущении движение будет сначала эволюционировать к аттрактору-окружности. Но потом будет играть роль уже внутренняя динамика на этом аттракторе, и состояние системы, будет в конце концов приближаться к " ламинарному" нульмерному аттрактору, одномерный же аттрактор, хотя и существует математически, на роль " установившегося режима" не годится.

Один из способов избежать подобных неприятностей — считать аттракторами только одни лишь минимальные аттракторы, то есть аттракторы, не содержащие меньших аттракторов. Гипотезы Колмогорова относятся именно к таким аттракторам, если мы хотим дать им точную формулировку.

Но тогда об оценках размерностей снизу ничего не доказано, несмотря на многочисленные названные так публикации.

Опасность дедуктивно-аксиоматического подхода к математике сно понимали многие мыслители и до Колмогорова. Первый по времени американский математик Дж. Сильвестр писал, что математическим идеям ни в коем случае нельзя окаменевать, так как они теряют силу и применения при попытке аксиоматизировать нужные свойства. Он говорил, что идеи должны восприниматься как вода в реке: мы никогда не входим в точности в ту же самую воду, хотя брод тот же самый. Так и идея может породить много разных и неэквивалентных друг другу аксиоматик, каждая из которых отражает идею не целиком.

Ко всем этим выводам Сильвестр пришёл, продумывая, по его словам, " странный интеллектуальный феномен, заключающийся в том, что доказательство более общего утверждения часто оказывается более простым, чем доказательства содержащихся в нем частных случаев". В качестве примера он сравнивал геометрию векторного пространства с (ещё не сложившимся тогда) функциональным анализом.

Эта идея Сильвестра в дальнейшем много использовалась. Например, именно ею объясняется стремление Бурбаки делать все понятия возможно более общими. Они даже употребляют во Франции слово " больше" в смысле, который в других странах (презрительно именуемыми ими " англосаксонскими") выражают словами " больше или равно", так как во Франции сочли более общее понятие " > =" первичным, а более частное " > " — " маловажным" примером. Из-за этого они учат студентов, будто нуль — число положительное (а также отрицательное, неположительное, неотрицательное и натуральное), что в других местах не признаётся.

Но до вывода Сильвестра о недопустимости окаменевания теорий они, видимо, не добрались (по крайней мере, в Париже, в библиотеке Высшей Нормальной Школы (Ecole Normale Superieure) эти страницы его Собрания Сочинений были неразрезанными, когда я недавно до них добрался).

Убедить математических " специалистов" правильно толковать гипотезы о росте размерностей аттракторов мне не удаётся, так как они, подобно юристам, возражают мне формальными ссылками на имеющиеся догматические своды законов, содержащие " точное формальное определение" аттракторов невежд.

Колмогоров, напротив, никогда не заботился о букве чьего-то определения, а думал о сущности дела².

² Решив в 1960 г. проблему Биркгофа об устойчивости неподвижных точек нерезонансных систем, я опубликовал в 1961 г. решение именно этой проблемы. Годом позже Ю. Мозер обобщил мой результат, доказав устойчивость и при резонансах порядка, большего четырёх. Только тут я заметил, что моё доказательство устанавливало этот более общий факт, но, будучи загипнотизированным формулировкой определения нерезоиансности Биркгофа, я не написал, что доказал больше, чем требовал Биркгоф.

Однажды он объяснил мне, что придумал свою топологическую теорию когомологий вовсе не комбинаторно и не алгебраически, как она выглядит, но думаято о потоках жидкости в гидродинамике, то о магнитных полях: он хотел промоделировать эту физику в комбинаторной ситуации абстрактного комплекса и сделал это.

И он добавил: " Жаль, что эти мои четыре статьи о когомологиях в парижских Comptes Rendus так и не поняты топологами даже сейчас, тридцать лет спустя (1965). Ведь я построил там не только группы когомологий — их-то все теперь поняли — а ещё и кольцо. И, если бы это моё кольцо поняли, то, я уверен, можно было бы получить в топологии много нового, вовсе не предполагая, как в теории кольца пересечений Пуанкаре, пространство многообразием".

В те годы я наивно пытался объяснить Колмогорову, что произошло в топологии за те десятки лет, которые он черпал все свои знания о ней только от П. С. Александрова. Из-за этой изоляции Колмогоров ничего не знал о гомотопической топологии; он убеждал меня, будто " спектральные последовательности содержались в казанской работе Павла Сергеевича 1942 года", и попытки объяснить ему, что такое точная последовательность, были не удачнее моих наивных попыток поставить его на водные лыжи или посадить на велосипед, этого великого путешественника и горнолыжника.

Удивительной для меня оказалась, однако, высокая оценка слов Колмогорова о когомологиях, данная строгим экспертом, Владимиром Абрамовичем Рохлиным. Он мне объяснил, совершенно не критически, что в этих словах Колмогорова содержится, во-первых, глубоко правильная оценка взаимоотношения двух своих достижений (особенно трудная в случае, когда, как здесь, оба достижения замечательны), а во-вторых — прозорливое предвидение огромного значения когомологических операций.

Из всех достижений современной топологии Колмогоров выше всего ценил сферы Милнора, о которых последний рассказал в 1961 году на Всесоюзном Математическом съезде в Ленинграде. Колмогоров даже уговорил меня (тогда начинающего аспиранта) включить эти сферы в свой аспирантский план, что заставило меня начать учиться дифференциальной топологии у Рохлина, Фукса и Новикова (вследствие чего я был даже вскоре оппонентом кандидатской диссертации последнего о дифференцируемых структурах на произведениях сфер).

Замысел Колмогорова состоял в том, чтобы употребить сферы Милнора для доказательства непредставимости функции многих переменных суперпозициями в 13-й проблеме Гильберта (вероятно, для алгебраических функций), но ни каких-либо его публикаций на эту тему, ни формулировок его гипотез не знаю.

Ещё один малоизвестный круг идей Колмогорова относится к оптимальному управлению динамическими системами.

Простейшая задача этого круга состоит в том, чтобы максимизировать в какой-либо точке первую производную определённой на отрезке или на окружности функции, зная оценки сверху модулей самой функции и её второй производной. Вторая производная мешает быстро загасить первую, и при слишком большой первой функция перерастает заданное ограничение.

Вероятно, первым опубликовал решение этой задачи о второй производной Адамар, а впоследствии его заново нашёл, занимаясь артиллерийскими траекториями, Литтлвуд. Колмогоров, кажется, не знал публикаций ни того, ни другого, и решил задачу об оценке сверху любой промежуточной производной через максимальные значения модулей дифференцируемой функции и её производной высокого {фиксированного} порядка.

Замечательная идея Колмогорова состояла в том, чтобы явно указать экстремальные функции, вроде многочленов Чебышёва (на которых доказываемое неравенство становится равенством). А для того, чтобы функция была экстремальной, он, естественно, догадался, что величину старшей производной нужно всё время выбирать максимальной по модулю, меняя только её знак.

Это привело его к замечательной серии специальных функций. Нулевая функция этой серии — это сигнум синуса аргумента (всюду имеющий максимальный модуль). Следующая, первая, функция — это первообразная от нулевой (то есть уже непрерывная " пила", производная которой всюду имеет максимальный модуль). Дальнейшие функции получаются каждая из предыдущей таким же интегрированием (увеличивающим число производных на единицу). Нужно только выбирать постоянную интегрирования так, чтобы интеграл от получившейся первообразной функции по периоду равнялся каждый раз нулю (тогда все построенные функции будут периодическими).

Явные формулы для получающихся кусочно-полиномиальных функций довольно сложны (интегрирования вносят рациональные константы, связанные даже с числами Бернулли).

Значения построенных функций и их производных доставляют постоянные в степенных оценках Колмогорова (оценивающих модуль промежуточной производной сверху через произведение рациональных степеней максимумов модуля функции и старшей производной). Указанные рациональные показатели степени легко угадать из того соображения подобия, восходящего к законам подобия Леонардо да Винчи и к теории турбулентности Колмогорова, что комбинация должна получиться безразмерной, так как понятно (хот бы из обозначений Лейбница), как ведут себя производные разных порядков при изменениях единиц измерения аргумента и функции. Например, для задачи Адамара оба рациональные показатели степени равны половине, так что квадрат первой производной оценивается сверху произведением максимумов модуля самой функции и её второй производной (с коэффициентом, зависящим от длины того отрезка или той окружности, где рассматривается функция).

Доказать все эти оценки легче, чем придумать экстремальные функции, описанные выше (и доставляющие, среди прочего, теорему Гаусса: вероятность несократимости дроби p/q с целыми числителем и знаменателем равна 6/p², то есть около 2/3).

В терминах сегодняшней теории управления, избранная Колмогоровым стратегия называется " биг банг": управляющий параметр всё время нужно выбирать имеющим экстремальное значение, всякая умеренность только вредит.

Что касается дифференциального уравнения Гамильтона для изменения со временем выбора этого экстремального значения из многих возможных, то Колмогоров прекрасно его знал, называя его, впрочем, принципом Гюйгенса (который этому уравнению действительно эквивалентен и из которого Гамильтон и получил своё уравнение переходом от огибающих к дифференциалам). Колмогоров даже указывал мне, бывшему тогда студентом, что лучшее описание этой геометрии принципа Гюйгенса содержится в учебнике механики Уиттекера, где я ему и научился, а что в более запутанной алгебраической форме он есть в теории " берюрунгтрансформационнен" Софуса Ли (вместо которой я выучил теорию канонических преобразований по " Динамическим системам" Биркгофа и которая сегодня называется контактной геометрией).

Разыскивать истоки современной математики в классических сочинениях обычно нелегко, особенно вследствие изменившейся терминологии, принимаемой за новую науку. Например, практически никто не замечает, что так называемая теория пуассоновых многообразий была разработана уже Якоби. Дело в том, что Якоби шёл путём алгебраических многообразий — varieties, а не гладких многообразий — manifolds. А именно, его интересовало многообразие орбит гамильтоновой динамической системы. Как топологический или гладкий объект, оно имеет особенности и даже более неприятные патологии (" нехаусдорфовость" и тому подобное) при запутанности орбит (фазовых кривых сложной динамической системы).

Но алгебра функций на этом (возможно, скверном) " многообразии" прекрасно определена: это просто алгебра первых интегралов исходной системы. По теореме Пуассона, скобка Пуассона двух первых интегралов — снова первый интеграл. Поэтому в алгебре интегралов имеется, кроме умножения, ещё одна билинейная операция — скобка Пуассона.

Взаимодействие этих операций (умножения и скобки) в пространстве функций на заданном гладком многообразии и делает его многообразием Пуассона. Формальные детали его определения я пропускаю (они несложны), тем более, что они не все выполнены в интересовавшем Якоби примере, где многообразие Пуассона и не гладкое, и не хаусдорфовое.

Таким образом, теория Якоби содержит исследование более общих многообразий с особенностями, чем современные пуассоновы гладкие многообразия, и к тому же эта теория построена им в стиле алгебраической геометрии колец и идеалов, а не дифференциальной геометрии подмногообразий.

Следуя совету Сильвестра, специалисты по пуассоновым многообразиям должны бы были, не ограничиваясь своей аксиоматикой, вернуться к более общему и более интересному случаю, рассматривавшемуся уже Якоби. Но Сильвестр этого не сделал (опаздывая, по его словам, на уходивший в Балтимор пароход), а математики более нового времени полностью подчинены диктату аксиоматистов.