Оптимизационные модели в маркетинге

Оптимизационными задачами, в экономике называются экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия (критериев) варианта использования наличных ресурсов (материальных, временных и т.д.). Решаются такие задачи с помощью оптимизационных моделей методами математического программирования.

В отличие от дескриптивных, т.е. описательных моделей, примером которых могут служить рассмотренные выше балансовые модели, оптимизационные модели наряду с уравнениями или неравенствами, описывающими взаимосвязи между переменными, содержат также критерий для выбора, называемый функционалом, или целевой функцией. Таким образом, общая структура этих моделей состоит из целевой функции, принимающей значения в пределах ограниченной условиями задачи области (области допустимых решений), и из ограничений, характеризующих эти условия. Целевая функция в самом общем виде определяется тремя моментами: управляемыми переменными, неуправляемыми параметрами (зависящими, например, от внешней среды) и видом (формой) зависимости между ними (видом функции). Если обозначить критерий оптимальности через U, управляемые переменные – = (x_i), параметры – = (p_j), заданные пределы (область) изменения управляемых переменных – М, то общий вид оптимизационной модели будет следующим:

Задачи вида (25.27) решаются методами математического программирования, которое включает в себя линейное, нелинейное, динамическое, целочисленное программирование и т.д. Выбор методов математического программирования для решения оптимизационных задач определяется видом целевой функции f, видом ограничений, определяющих область М, и специальными ограничениями на управляемые переменные (например, требованием их целочисленности). Решение задачи получения управнения (25.27) обычно называется оптимальным решением, или оптимальным планом.

Рассмотрим прежде всего оптимизационные задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования (ЗЛП). В общем виде такая задача может быть сформулирована, например, следующим образом.

Найти вектор = (х ₁, х ₂ ... х_n), максимизирующий линейную целевую функцию: , а также удовлетворяющий линейным функциональным ограничениям:

Кроме того, искомый вектор должен удовлетворять и прямым ограничениям:

Задача (25.28) может быть записана в канонической форме, при которой функциональные ограничения имеют вид равенств. Это достигается путем прибавления к левым частям этих ограничений т дополнительных неотрицательных переменных. ЗЛП в канонической форме решается симплексным методом, в то же время для некоторых ЗЛП специального вида разработаны соответствующие методы (алгоритмы) решения.

Некоторые из них не связаны непосредственно с алгоритмом симплексного метода, как, например, метод потенциалов для решения транспортной задачи; другие же в качестве составных элементов используют вычислительные процедуры симплексного метода. В качестве примера последних можно привести метод Гомори (метод отсечений) для решения задач линейного целочисленного программирования.

Оптимизационные задачи, сводящиеся к задачам линейного программирования, широко используются в процессе экономико-математического моделирования (они рассматриваются ниже). Однако задачами линейного программирования не исчерпываются все виды оптимизационных экономических задач, так как во многих случаях целевая функция задачи и ограничения на область допустимых решений не удовлетворяют условиям линейности. Тогда применяются специальные методы нелинейного программирования, например метод множителей Лагранжа, динамического и имитационного программирования и др.

Перейдем к рассмотрению конкретных прикладных задач маркетинга, решаемых на основе оптимизационных моделей.

Статическая модель оптимизации прикрепления потребителей к поставщикам. Основной математической моделью оптимального прикрепления потребителей к поставщикам является так называемая транспортная задача линейного программирования, которая в общем виде формулируется следующим образом:

В т пунктах отправления (А ₁, А ₂ ... А_т), которые в дальнейшем будем называть поставщиками, сосредоточено определенное количество единиц некоторого однородного продукта, которое обозначим a_i (i = 1, 2... m).

Данный продукт потребляется в n пунктах (В ₁, B ₂ ... В_n), которые будем называть потребителями; объем потребления обозначим через b_j (j = 1, 2... n).

Известны расходы на перевозку единицы продукта из пункта А_i в пункт В_j, которые равны c_ij и приведены в матрице транспортных расходов С = (с_ij).

Требуется составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам (другими словами, план перевозок), при котором весь продукт вывозится из пунктов A_i в пункты B_j в соответствии с потребностью и общая величина транспортных издержек минимальна.

Обозначим количество продукта, перевозимого из пункта A_i в пункт B_j, через Х_ij. Совокупность всех переменных х_ij для краткости обозначим символом , тогда целевая функция задачи приобретет вид:

А ограничения выглядят следующим образом:

Условия (25.31) означают полное удовлетворение спроса во всех пунктах потребления; условия (25.30) определяют больший вывоз продукции от всех поставщиков.

Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи (25.29) – (25.31) является условие баланса:

Транспортная задача, в которой имеет место равенство (25.32), называется закрытой и в качестве ЗЛП может быть решена с помощью симплексного метода. Однако благодаря особенностям переменных задачи и системы ограничений разработаны специальные, менее громоздкие методы ее решения.

Чаще всего применяется метод потенциалов, при котором каждой i -й строке (i -му поставщику) устанавливается потенциал U_i, который можно интерпретировать как цену продукта в пункте поставщика, а каждому столбцу j (j- мупотребителю) устанавливается потенциал V_j, принимаемый условно за цену продукта в пункте потребителя. В простейшем случае цена продукта в пункте потребителя равна его цене в пункте поставщика плюс транспортные расходы на его доставку, т.е.:

V_j = U_i + c_ij. (25.33)

Алгоритм метода потенциалов для закрытой транспортной задачи детально описан в ряде учебных пособий*.

* См.: Экономико-математические методы и прикладные модели. Учебное пособие для вузов/Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999.

Первым этапом этого алгоритма является начальное распределение (составление начального плана перевозок). Для этого имеется ряд методов: северо-западного угла, наименьших стоимостей, аппроксимаций Фогеля и др. Второй этап – построение системы потенциалов на основе равенства (25.33), а третий – проверка начального плана на оптимальность, причем в случае его неоптимальности переходят к четвертому этапу, содержание которого заключается в реализации так называемых циклов перераспределения плана прикрепления потребителей к поставщикам, после чего переходят опять к третьему этапу. Совокупность процедур четвертого и третьего этапов образует одну итерацию, и эти итерации повторяются, пока план перевозок не окажется оптимальным по критерию (25.29)

Если баланс (25.32) не выполняется, то ограничения (25.30) или (25.31) имеют вид неравенств типа «меньше или равно»; транспортная задача в таком случае называется открытой. Для решения открытой транспортной задачи методом потенциалов ее сводят к закрытой задаче путем ввода или фиктивного потребителя, если в неравенства превращаются условия (25.30), или фиктивного поставщика в случае превращения в неравенства ограничений (25.31).

Модель оптимизации загрузки производственных мощностей. В общем виде задачу оптимальной загрузки производственных мощностей можно сформулировать следующим образом.

Имеется т предприятий (например, филиалов фирмы), которые могут производить п видов продукции. Известны:

а) a_i – фонд рабочего времени (например, в сменах) каждого i -го предприятия; i = 1, 2... m;

б) b_j – величина потребности в продукции j -го вида; j = 1, 2... n;

в) а_ij – мощность, или количество продукции j -го вида, вырабатываемой (в смену) на i -м предприятии;

г) c_ij – себестоимость производства единицы j -й продукции на i -м предприятии.

Требуется составить такой план распределения заказов на продукцию по всем предприятиям, при котором суммарные затраты по изготовлению продукции в заданной номенклатуре будут минимальными при полной загрузке производственных мощностей предприятий.

Пусть х_ij – планируемый объем выпуска j -й продукции на i -м предприятии; совокупность таких величин обозначим . Тогда целевая функция рассматриваемой задачи имеет вид:

Существуют при этом следующие ограничения:

Если снять условие полной загрузки производственных мощностей предприятий, то ограничения (25.35) примут вид таких неравенств:

Если же условие точного выполнения плана в заданной номенклатуре заменить требованием «не меньше», то условия (25.36) превратятся в следующие неравенства:

Очевидно, задачу (25.34) – (25.36) можно решить симплексным методом как задачу линейного программирования. Однако если привести определенными приемами коэффициент а_ij к единице, то данная модель не будет отличаться от модели транспортной задачи, и ее можно будет решить, в частности, методом потенциалов.

Модели оптимального составления смесей (сплавов). В ряде производств готовая продукция получается путем смешивания различных исходных компонентов, при этом ее качество должно соответствовать определенным требованиям при достижении максимального экономического эффекта. Оптимизация состава исходных компонентов представляет собой экономико-математическую задачу, которая называется задачей о смесях. В общем виде ее можно сформулировать следующим образом.

Состав готовой продукции определяется наличием в нем т видов элементов, содержание которых лимитируется величиной l, (i – 1, 2... т). Для k элементов, ухудшающих качество продукции, задана верхняя граница содержания того или иного элемента (l_i, ≤ а_i), а для т – k элементов, улучшающих качество продукции, задана нижняя граница содержания элемента в готовой продукции (l_i, ≥ а_i). Для производства готовой продукции может быть использовано п видов компонентов, объемы которых ограничены величиной b_j (j = 1, 2 ... п).

Известно содержание i -го элемента в j-м компоненте, которое обозначим как а_ij. Известна стоимость отдельных компонентов, включая расходы на их переработку, которую обозначим как c_j. Наконец, задано общее количество готовой продукции (М), которое следует изготовить по плану. Требуется составить такую смесь из имеющихся компонентов, чтобы затраты на это составление были минимальными.

Обозначим количество используемого для составления смеси j -го компонента через х_j, авектор, координатами которого являются величины х_j, – через . Целевая функция задачи имеет вид:

Ограничения формулируются следующим образом:

Ограничения (25.38) относятся к элементам, ухудшающим качество, (25.39) – к элементам, улучшающим качество, (25.40) - к плану производства, (25.41) – к ограничению ресурсов.

Задача о смесях решается с применением методов линейного программирования.

Рассмотрим следующий пример. В изготовленном на предприятии бензине А 76 октановое число должно быть не ниже 76, а содержание серы – не более 0, 3%. Данные об используемых компонентах приведены в табл. 25.3.

Таблица 25.3