Методы и модели управления товарными запасами в маркетинге

Классическая задача управления запасами. Задачей управления запасами называется оптимизационная задача, в которой предполагаются известными данные о поставках товара на склад, спросе на товар, издержках и условиях хранения товарных запасов.

Требуется оптимизировать работу склада по заданному критерию оптимизации.

Рассмотрим эту задачу в так называемой классической постановке. Выберем за единичный интервал времени один день. Пусть к концу дня t – 1 на складе находится запас в объеме x_{t -1}≥ 0. Склад делает заказ на пополнение запаса товара в объеме h_t. Это пополнение поступает к началу следующего дня t, так что запас товара в начале следующего дня составляет х ₁ + h_t. Пусть S_t – объем товара, запрашиваемый потребителем (или потребителями) в день t (объем заявки).

Если S_t ≤ x_{t -1} + h_t, то склад удовлетворяет заявку потребителя полностью, а остатки товара (х_t = x_{t -1} + + h_t - S_t) переносятся на следующий день (t + 1), причем издержки хранения этого запаса пропорциональны его объему, т.е. С · x_t = С (x_{t -1} + h_t – S_t).

Если объем заявки S_t > x_{t -1} + h_t, то склад полностью отдает свой запас, а за недопоставленный товар несет потери (например, штрафуется за дефицит), пропорциональные объему дефицита, т.е. k (S_t - x_{t -1} - - h_t) = - k (x_{t -1} + h_t – S_t).

Таким образом, полные издержки φ (x_{t -1}, h_t, S_t) склада можно записать в виде:

При этом остаток товара таков:

Из уравнения (25.50) следует: если х_{t -1} > 0, то φ (x_t) = c · x_t; если x_t < 0, то φ (x_t) = -k · x_t; если х_t = 0, то φ (x_t) = 0.

В классической постановке задачи управления запасами предполагается, что сама величина спроса S_t неизвестна, однако она является независимой случайной величиной, имеющей заданный закон распределения. Пусть распределение вероятностей величины S_t задается непрерывной функцией распределения F(x) с плотностью распределения f (x). Тогда средние полные издержки Ф (x_{t -1} + h_t) задаются следующей формулой (М – математическое ожидание):

Задача ставится таким образом: определить объем заказа на пополнение h_t, минимизирующий средние полные издержки, т.е.:

где h_t ≥ 0.

Если обозначить у = х_{t -1} + h_t, то в случае статической постановки классической задачи управления запасами уравнение для определения минимизирующего запаса у * имеет вид:

Решение (25.52) задачи (25.51) определяет стратегию оптимального пополнения запасов. Величина пополнения запасов h*_t, минимизирующая средние полные издержки, задается следующим образом:

Конкретные числовые характеристики системы управления запасами зависят от вида функции плотности распределения f(x) случайной величины спроса. В качестве примера рассмотрим случай симметричного «треугольного распределения» спроса, при котором функция плотности распределения получается в виде графика, представленного на рис 25.1А. Очевидно, что этот график получается параллельным при переносе вправо (т.е. заменой х на х - а) графика, изображенного на рис. 25.1Б, при этом функция принимает следующий вид:

Рис. 25.1. Функция плотности распределения в графическом виде

График функции средних полных издержек для такой функции спроса в случае к > с представлен на рис. 25.2, где оптимальный уровень запаса можно выразить уравнением:

Рис. 25.2. Функция средних полных издержек в графическом виде

В общем виде для данной функции плотности распределения спроса оптимальный уровень запаса задается условиями:

Значение Ф* = Ф (у *) минимума средних полных издержек имеет вид:

Из формул (25.55) и (25.56) для данной модели следует, что оптимальный уровень запаса при с ≠ k и минимум средних полных издержек при всех с и k линейно зависят от величины b, т.е. от длины интервала, в котором заключен разброс значений величины спроса на товар.

Напомним, что стратегия оптимального пополнения запасов задается формулами (25.53).

Рассмотрим пример. Пусть некоторая фирма в соответствии с договором реализует со склада по заявкам холодильники, причем ежедневный спрос является случайной величиной, функция плотности распределения которой представлена графически на рис. 25.1А, и колеблется от 20 до 80 холодильников в день. Средние издержки хранения одного холодильника в день составляют 8 руб., а штраф за дефицит (недопоставку) одного холодильника в день равен 17 руб. Требуется определить стратегию оптимального пополнения запаса холодильников и минимальные средние полные издержки.

Задаем следующие условия рассматриваемой задачи:

В соответствии с формулой (25.55) оптимальный уровень запаса (с < k) составляет следующую величину:

Тогда величина h * _t пополнения запаса холодильников, при которой средние полные издержки будут минимальны, задается в соответствии с формулой (25.53) следующими условиями:

где x_{t -1}– запас холодильников на складе фирмы на конец предыдущего дня.

Так, если на конец предыдущего дня на складе фирмы было 60 холодильников, то пополнять запас не следует, а если на конец предыдущего дня на складе оставалось 25 холодильников, то следует реализовать заказ на пополнение запаса холодильников таким образом: 56 – 25 = 31.

Если придерживаться этой стратегии пополнения запаса, то минимальный уровень средних полных издержек в расчете на один день в соответствии с формулой (25.56) составит:

Принципиальные системы регулирования товарных запасов. Рассмотренная в предыдущем параграфе классическая задача управления запасами иллюстрирует общий теоретический подход к задаче регулирования запасов. В практической деятельности организации и служб маркетинга используются более простые принципиальные системы регулирования товарных запасов, основанные на различных стратегиях пополнения запасов, т.е. на определенных правилах этого пополнения, выраженных в достаточно общей форме. Параметрами их являются величина имеющихся на складе запасов, допустимые колебания уровня запасов, размеры заказа на пополнение запасов, его периодичность и др. Системы различаются между собой в зависимости от того, какие из параметров выбраны в качестве регулирующих. Принципиальные системы регулирования запасов, используемые в практике маркетинга, подробно описаны во многих учебниках и пособиях*. Поэтому дадим лишь краткий обзор этих систем.

* См.: Мельник М.М. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении материально-техническим снабжением. Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1990.

Наиболее распространена система с фиксированным размером заказа, в которой размер заказа на пополнение запасов является постоянной величиной, а очередная партия товара поступает при уменьшении наличных запасов до определенного критического уровня, называемого точкой заказа. Поэтому регулирующими параметрами здесь являются: точка заказа, т.е. фиксированный уровень запаса, при снижении до которого организуется заготовка очередной партии товара; размер заказа, т.е. величина партии поставки. Данную систему часто называют «двухбункерной», так как при ее применении запас хранится как бы в двух бункерах: в первом – для удовлетворения спроса в течение периода между фактическим пополнением запаса и датой следующего ближайшего заказа, а во втором – для удовлетворения спроса в течение периода от момента подачи заказа до поступления очередной партии товара (во втором бункере хранится запас на уровне точки заказа).

При системе с фиксированной периодичностью заказа заказы на очередную поставку товарного запаса повторяются через равные промежутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень запасов и исходя из этого определяется размер заказываемой партии, при этом запас пополняется каждый раз до определенного уровня, не превышающего максимальный. Таким образом, регулирующими параметрами этой системы являются: максимальный уровень запасов, до которого осуществляется их пополнение; продолжительность периода повторения заказов. Такую систему эффективно использовать, когда имеется возможность изменять объем заказа, а затраты на оформление любого заказа невелики. Одним из ее достоинств можно считать возможность периодической проверки остатков на складе и отсутствие необходимости вести систематический учет движения остатков. К недостаткам относится то, что не исключается возможность нехватки товарных запасов.

В системе с двумя фиксированными уровнями запасов и с фиксированной периодичностью заказа установлены верхний и нижний пределы допустимого уровня запасов. Помимо максимального верхнего уровня устанавливается нижний (точка заказа). Если размер запаса снижается до нижнего уровня еще до наступления фиксированного времени пополнения запаса, то делается внеочередной заказ. В остальных случаях система функционирует как предыдущая система. В настоящей системе имеются три регулирующих параметра: максимальный уровень запаса; нижний уровень запаса (точка заказа); длительность периода между заказами. Первые два параметра постоянны, а третий может быть переменным. Рассматриваемая система является более сложной по сравнению с предыдущей, однако она позволяет исключить нехватку товарного запаса. Недостатком является то, что пополнение запасов до максимального уровня не может производиться независимо от фактического расходования запасов.

Систему с двумя фиксированными уровнями запасов без постоянной периодичности заказа называют также (S – s) -системой (стратегией), или системой «максимум – минимум». Она устраняет недостаток предыдущей системы и является ее модификацией. В ней два регулирующих параметра: нижний (критический) уровень запаса s, а также верхний уровень запаса S.

Если через х обозначить величину запасов для принятия решения об их пополнении, через р – величину пополнения, а через у = х + р – величину запасов после пополнения, то (S – s)-стратегия управления запасами задается условиями:

Таким образом, пополнения не происходит, если имеющийся уровень запасов больше критического (s); если же имеющийся уровень меньше или равен s, то принимается решение о пополнении запаса обязательно до верхнего уровня S, так что р = S - х.

Рассмотрим типовую задачу. Пусть при пополнении запасов автомобилей на складе служба маркетинга магазина «Автомобили» придерживается (S – s) -стратегии при s = 50 и S = 300. Требуется определить, на какое количество автомобилей надо оформить заказ, если в момент принятия решения о заказе на складе имеется следующее количество автомобилей: а) 40, б) 70, в) 150, г) 10, д) 290. Временем доставки заказанных автомобилей можно пренебречь. В соответствии с формулой (25.57) величина р в каждом из рассматриваемых случаев будет равна следующему количеству автомобилей: а) 260, б) 0, в) 0, г) 290, д) 0, т.е. в случаях б, в, и д заказ на пополнение запаса автомобилей не оформляется.

Рассмотренные выше системы регулирования запасов предполагают относительную неизменность условий функционирования этих систем. На практике такое постоянство редко имеет место, что вызвано изменениями потребности в товарных запасах, условиями их поставки и т.д. В связи с этим возникает необходимость создания комбинированных систем с возможностью саморегулирования (адаптации к изменившимся условиям), т.е. с изменяющимися периодичностью и размером заказов, учитывающие стохастические (недетерминированные) условия. В каждой такой системе устанавливается определенная целевая функция, служащая критерием оптимальности функционирования системы в рамках соответствующей экономико-математической модели управления запасами.

Одним из элементов целевой функции при построении саморегулирующихся систем являются затраты по организации заказа и его реализации, начиная с поиска поставщика и кончая оплатой всех услуг по доставке товарных запасов на склад. Часть расходов, связанных с организацией заказов, зависит не от их размера, а от годового объема деятельности предприятия (фирмы). Расходы, связанные с реализацией заказа, зависят от заказанной партии, причем в расчете на единицу товара они уменьшаются при увеличении размера партии.

Другим элементом целевой функции являются затраты на хранение запаса. Часть издержек хранения носит постоянный характер (плата за аренду помещений, за отопление и др.), другая же находится в прямой зависимости от уровня запасов (расходы на складскую переработку товарных запасов, потери от порчи, издержки учета и др.) При расчетах на основе экономико-математических моделей управления запасами обычно пользуются удельной величиной издержек хранения, равной издержкам на единицу хранимого товара в единицу времени. При этом предполагается, что издержки хранения за календарный период пропорциональны размеру запасов и длительности периода между заказами и обратно пропорциональны количеству заказов за этот период.

Наконец, третьим элементом рассматриваемой целевой функции являются потери из-за дефицита, когда снабженческо-сбытовая организация несет материальную ответственность за неудовлетворение желаний потребителей из-за отсутствия запасов. Например, при неудовлетворенном спросе снабженческо-сбытовая организация может понести убытки в виде штрафа за срыв поставки. Вероятность дефицита – это ожидаемая относительная частота появления случаев нехватки товарной продукции в течение более или менее продолжительного интервала времени. Как правило, вероятность дефицита определяется как частное от деления числа дней, когда товар на складе отсутствует, на общее число рабочих дней (например, в году).

Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий. Рассмотрим работу склада, на котором хранятся товарные запасы, расходуемые на снабжение потребителей. Работа реального склада сопровождается множеством отклонений от идеального режима: заказана партия одного объема, а прибыла партия другого; по плану партия должна прибыть через две недели, а она пришла через десять дней; при норме разгрузки одни сутки разгрузка партии длилась трое и т.д. Учесть все эти отклонения практически невозможно, поэтому при моделировании работы склада обычно делаются следующие предположения.

1. Скорость расходования запасов со склада является постоянной величиной, которую обозначим через М (единиц товарных запасов в единицу времени). В соответствии с этим график изменения величины запасов в части расходования является отрезком прямой.

2. Объем партии пополнения (Q) есть постоянная величина, так что система управления запасами является системой с фиксированным размером заказа.

3. Время разгрузки прибывшей партии пополнения запасов мало, будем считать его равным нулю.

4. Время от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть постоянная величина (∆ t). Если нужно, чтобы она пришла точно в определенный момент, то ее следует заказать в момент времени на ∆ t ранее.

5. На складе не происходит систематического накопления или перерасхода запасов. Если через Т обозначить время между двумя последовательными поставками, то обязательно выполнекие равенства: Q = М · Т. Из сказанного выше следует, что работа склада происходит одинаковыми циклами длительностью Т и завремя цикла величина запаса изменяется от максимального уровня S до минимального уровня s.

6. Наконец, будем считать обязательным выполнение требования о недопустимости отсутствия запасов на складе, т.е. выполнение неравенства s ≥ 0. С точки зрения уменьшения издержек склада на хранение отсюда вытекает, что s = 0, а следовательно, S - Q.

Окончательно график идеальной работы склада в форме зависимости величины запасов у от времени t будет иметь вид, представленный на рис. 25.3.

Рис. 25.3. График идеальной работы склада

Эффективность работы склада оценивается по его затратам на пополнение запасов и их хранение. Расходы, не зависящие от объема партии, называют накладными: почтово-телеграфные, командировочные, некоторая часть транспортных и др. Накладные расходы обозначим через К. Издержки хранения запасов будем считать пропорциональными величине хранящихся запасов и времени их хранения. Издержки на хранение одной единицы запасов в течение одной единицы времени называется величиной удельных издержек хранения; обозначим их через h.

При изменяющейся величине хранящихся запасов издержки хранения за некоторое время Т получают путем умножения величины h на T и на среднее значение величины запасов в течение этого времени Т. Таким образом, затраты склада за время Т при размере партии пополнения Q в случае идеального режима работы склада, представленного на рис. 25.3, можно выразить следующим равенством:

После деления этой функции на постоянную величину Т с учетом равенства Q = М · Т получим выражение для величины затрат на пополнение и хранение запасов, приходящихся на единицу времени:

Это и будет целевой функцией, минимизация которой позволит указать оптимальный режим работы склада.

Найдем объем заказываемой партии (Q), при котором минимизируется функция средних затрат склада за единицу времени, т.е. функция Z ₁ (Q). На практике величины Q часто принимают дискретные значения, например из-за использования транспортных средств определенной грузоподъемности; в этом случае оптимальное значение (Q _опт.) находят перебором допустимых значений Q. Мы будем считать, что ограничений на принимаемые значения Q нет, тогда задачу на минимум функции Z ₁ (Q) можно решить методами дифференциального исчисления:

Отсюда можно найти точку минимума Q _опт.:

Эта формула называется формулой Уилсона (по имени английского ученого-экономиста), который вывел ее в 20-х гг. нашего столетия.

Оптимальный размер партии, рассчитываемый по формуле Уилсона, обладает характеристическим свойством: размер партии Q оптимален тогда и только тогда, когда издержки хранения за время цикла Т равны накладным расходам К.

Действительно, если , то издержки хранения за цикл таковы:

И наоборот, издержки хранения за цикл равны накладным расходам в соответствии с уравнением:

В данном случае размер партии определяется так:

Проиллюстрируем характеристическое свойство оптимального размера партии графически (рис. 25.4.)

Рис. 25.4. Графическое изображение оптимального размера партии

Из графиков видно, что минимальное значение функции Z ₁(Q) достигается при том значении Q,, при котором равны значения двух других функций, ее составляющих.

Используя формулу Уилсона (25.59) с учетом сделанных ранее предположений об идеальной работе склада, можно получить ряд расчетных характеристик работы склада в оптимальном режиме. Так, оптимальный средний уровень запаса можно выразить уравнением:

Оптимальная периодичность пополнения запасов рассчитывается следующим образом:

Оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени можно рассчитывать так:

Рассмотрим типовую задачу. На склад доставляется на барже цемент партиями по 1500 т. В сутки со склада потребители забирают 50 т цемента. Накладные расходы по доставке партии цемента равны 2 тыс. руб. Издержки хранения 1 т цемента в течение суток равны 0, 1 руб. Требуется определить:

длительность цикла и среднесуточные накладные расходы и среднесуточные издержки хранения;

эти же величины для размеров партии в 500 т и в 3000 т;

оптимальный размер заказываемой партии и расчетные характеристики работы склада в оптимальном режиме.

Решение:

Параметры работы склада: М = 50 т/ сут.; К = 2 тыс. руб.;

h = 0, 1 руб./т · сут.; Q, = 1500 т.

1. Длительность цикла:

среднесуточные накладные расходы:

среднесрочные издержки хранения:

2. Аналогичные расчеты проведем для Q ₁ = 500 т.:

Проведем расчеты и для Q ₂= 3000 т:

3. Найдем оптимальный размер заказываемой партии по формуле Уилсона (25.59):

Далее определим оптимальный средний уровень запаса по формуле (25.60):

Затем найдем оптимальную периодичность пополнения запасов по формуле (25.61):

И, наконец, рассчитаем оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени по формуле (25.62):