Моделирование спроса в задачах маркетинга

В условиях нового экономического уклада в основу принятия хозяйственных решений ложится рыночная информация, а обоснованность решений проверяется также рынком в ходе реализации товаров и услуг. Таким образом, начальным пунктом всего цикла предпринимательской деятельности становится изучение потребительского спроса. Рассмотрим некоторые вопросы математического моделирования спроса в маркетинге.

Уровень потребления можно выразить целевой функцией потребления U = U (Y), где вектор переменных Y ≥ 0 включает разнообразные виды товаров и услуг. Свойства этой функции удобно изучать, используя геометрическую интерпретацию уравнения U (Y) = С, где С – параметр уровня целевой функции потребления (в качестве С может выступать, например, доход).

В пространстве потребительских благ уравнению U (Y) = С соответствует поверхность равноценных, или безразличных, наборов благ, которая называется поверхностью безразличия. В частности, если взять две группы товаров, например продукты питания (у ₁ ) и непродовольственные товары и услуги (у ₂ ), то уровни целевой функции потребления можно изобразить на плоскости в виде кривых безразличия, соответствующих различным значениям величины С. Вид таких кривых представлен на рис. 25.5, где С ₁ < С ₂ < С ₃. Термин «кривые безразличия» часто используется вне зависимости от размерности пространства потребительских благ и от количества групп товаров и услуг.

При моделировании поведения потребителей исходят из того, что при имеющемся доходе и установленных ценах потребители стремятся максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. Пусть в пространстве п видов товаров спрос потребителей выражается вектором Y = (у ₁, у ₂ ,..., у_п), а цены представлены вектором Р = (р ₁, p ₂,..., р_n). При величине дохода Z потребители могут выбирать только такие комбинации товаров, которые удовлетворяют бюджетному ограничению . Тогда простейшая модель поведения потребителей в векторной форме будет иметь вид:

Геометрическая интерпретация модели (25.63) для двух агрегированных групп товаров представлена на рис. 25.5. Линия АВ для Z = C ₁соответствует бюджетному ограничению и называется бюджетной линией. Выбор потребителей при данном уровне дохода ограничен треугольником А0В. Набор товаров M ₁, соответствующий точке касания прямой АВ наиболее отдаленной кривой безразличия, является оптимальным решением.

Задача (25.63) в общем случае является задачей нелинейного программирования, с которой связана так называемая функция Лагранжа:

L(Y, λ) = U(Y) + λ (Z – P · Y),

где множитель Лагранжа λ является оптимальной оценкой дохода. Если обозначить частные производные функции U (Y) через U_i: , то эти производные можно интерпретировать как предельные полезности соответствующих потребительских благ, т.е. они характеризуют прирост целевой функции потребления при увеличении использования i -го товара на некоторую условную «малую единицу».

Из теории математического программирования известно, что необходимыми условиями того, что вектор Y⁰ будет оптимальным решением задачи (25.63), являются условия Куна – Таккера:

при этом U_i (Y ⁰) = λ ⁰ · р _i, если у_i ⁰ > 0, т.е. товар приобретается, и U_i (Y ⁰) < λ ⁰ · p_i, если у_i ⁰ > 0, т.е. товар не приобретается.

Из условий оптимальности (25.64) следует, что потребители должны выбирать товары таким образом, чтобы отношение предельной полезности к цене товара было одинаковым для всех приобретаемых товаров:

если

Другими словами, в оптимальном наборе предельные полезности выбираемых товаров должны быть пропорциональны ценам.

Функциями покупательского спроса (функциями спроса) называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуги от влияющих на него факторов. Рассмотрим их построение в зависимости от двух факторов: дохода и цен. Будем в модели (25.63) цены и доход рассматривать как меняющиеся параметры. Тогда решением оптимизационной задачи (25.63) станет векторная функция Y⁰ = Y⁰(P, Z), компонентами которой являются на определенный товар от цен и дохода: y_i ⁰ f_i(P, Z).

Рассмотрим частный случай, когда вектор цен остается неизменным, а изменяется только доход. Для двух групп товаров этот случай представлен на рис. 25.5. Если по оси абсцисс отложить количество единиц товара у ₁, которое можно приобрести на имеющийся доход Z (точка В), апо оси ординат – количество товара y ₂ той же стоимости (точка А), то прямая линия АВ, называемая бюджетной линией, показывает любую комбинацию количеств этих двух товаров, которую можно купить за сумму денег Z. При увеличении дохода бюджетные линии перемещаются параллельно самим себе, удаляясь от начала координат. Вместе с ними перемещаются соответствующие кривые безразличия.

Рис. 25.5. Модель поведения потребителей в графическом виде

Точками оптимума потребительского спроса для соответствующих размеров дохода будут в данном случае точки M ₁, M ₂, M ₃. При нулевом доходе спрос на оба товара будет нулевым. Кривая, соединяющая точки 0, М ₁, M ₂, M ₃, является графическим отображением векторной функции спроса от дохода при заданном векторе цен.

Рассмотрим процесс аналитического построения функций спроса от дохода на основе модели (25.63) на условном примере. Пусть для двух товаров целевая функция потребления имеет вид вектор цен Р = (3; 6); величина дохода равна Z.

Так как в данном случае D = Z, то необходимые условия оптимума дают следующую систему уравнений (λ – множитель Лагранжа):

После подстановки первого уравнения во второе получим 3 y ₁ y ₂². Выразив из третьего уравнения 3 у ₁, и подставив в последнее равенство, будем иметь (Z – 6 y ₂ )y ₂² = 2 y ₂³, откуда можно получить, что y ₂ = 1/8 Z. Подставив этот результат в третье уравнение, получим у ₁= 1/12 Z. Таким образом, для данного примера функций спроса на товары у ₁и у ₂ от дохода Z имеют вид:

Y ₁= 1/12 Z; у ₂ = 1/8 Z

Однофакторные функции спроса от дохода широко применяются при анализе покупательского спроса. Соответствующие этим функциям кривые у ₁ = f ₁(Z) называются кривыми Энгеля (по имени изучавшего их немецкого экономиста). Формы этих кривых для различных товаров могут быть различны. Если спрос на данный товар возрастает примерно пропорционально доходу, то функция будет линейной, как в рассмотренном выше примере. Такой характер имеет спрос на одежду, фрукты и т.д. Кривая Энгеля для этого случая представлена на рис. 25.6 А.

Если по мере роста доходов спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами, то кривая Энгеля выпукла (рис. 25.6 Б). Так изменяется спрос на предметы роскоши.

Если рост значений спроса по мере его насыщения отстает от роста дохода, начиная с определенного момента, то кривая Энгеля имеет вид вогнутой кривой (рис. 25.6 В). Например, таков характер спроса на товары первой необходимости.

Рис. 25.6. Изменение спроса на товар по мере роста доходов

Тот же принцип разграничения групп товаров по типам функций спроса от дохода использовал шведский экономист Л. Торнквист, который предложил специальные виды функций спроса (функции Торнквиста) для трех групп товаров: первой необходимости, второй необходимости, предметов роскоши (рис. 25.7).

Функция Торнквиста для товаров первой необходимости имеет вид:

Она отражает тот факт, что рост спроса на эти первоочередные товары с ростом дохода постепенно замедляется и имеет предел а ₁(кривая спроса асимптотически приближается к прямой линии у = a ₁); график функции на рис. 25.7 является вогнутой кривой (I).

Функция спроса по Торнквисту на товары второй необходимости выражается формулой:

Функция также имеет предел а ₂но более высокого уровня, при этом спрос на данную группу товаров появляется лишь после того, как доход достигнет величины b ₂, график функции на рис. 25.7 – вогнутая кривая (II).

Наконец, функция Торнквиста для предметов роскоши имеет вид:

Функция не имеет предела. Спрос на эти товары возникает только после того, как доход превысит величину b ₃, и далее быстро возрастает, так что график функции на рис. 25.7 является выпуклой кривой (III).

Кроме указанных функций в аналитических моделях покупательского спроса используются другие функции: степенные, S-образные и т.д.

Рис. 25.7. Графики функций Торнквиста

Важную роль в анализе изменения спроса при небольших изменениях дохода играют коэффициенты эластичности. Коэффициент эластичности спроса от дохода показывает относительное изменение спроса при изменении дохода (при прочих неизменяющихся факторах). Он вычисляется по формуле:

где Е_i^z – коэффициент эластичности для i -го товара (группы товаров) по доходу Z;

y_i – спрос на этот товар, являюющийся функцией дохода;

у_i = f_i (Z). Например, если спрос на товар описывается функцией Торнквиста для товаров первой необходимости, то формула (25.65) дает следующее выражение для коэффициента эластичности спроса от дохода:

Во многих экономико-математических моделях эластичность функций относят к проценту прироста независимой переменной. Таким образом, коэффициент эластичности спроса от дохода показывает, на сколько процентов изменится спрос на товар при изменении дохода на 1%.

Коэффициенты эластичности спроса от дохода различны для разных товаров, они могут быть и отрицательны, когда с ростом доходов потребление уменьшается. Принято выделять четыре группы товаров в зависимости от коэффициента эластичности спроса на них от дохода: малоценные товары (Е_i^Z < 0); товары с малой эластичностью (0 < Е_i^Z < 1 ); товары со средней эластичностью (Е_i^Z близки к единице); товары с высокой эластичностью (Е_i^Z > 1).

К малоценным товарам, т.е. товарам с отрицательной эластичностью спроса от дохода, относятся такие, как хлеб, низкосортные товары. Судя по результатам обследований, коэффициенты эластичности для основных продуктов питания находятся в интервале от 0, 4 до 0, 8, для одежды, тканей, обуви – в интервале от 1, 1 до 1, 3 и т.д. По мере увеличения дохода спрос перемещается с товаров первой и второй групп на товары третьей и четвертой групп, при этом потребление товаров первой группы по абсолютным размерам сокращается.

Перейдем к анализу функций покупательского спроса от цен на товары. Из модели поведения потребителей (25.63) следует, что спрос на каждый товар в общем случае зависит от цен на все товары (вектора Р), однако построить функцию общего вида, выраженную как y_i = φ _i (Р), очень сложно. Поэтому в практических исследованиях ограничиваются построением и анализом функций спроса для отдельных товаров в зависимости от изменения цен на этот же товар или группу взаимозаменяемых товаров: у_i = φ _i (Р).

Для большинства товаров действует зависимость: чем выше цена, тем ниже спрос, и наоборот. Здесь также возможны различные типы зависимости и, следовательно, разные формы кривых. В практических задачах маркетинга важно различать действительное увеличение спроса, когда сама кривая сдвигается вверх и вправо (происходит переход с кривой I на кривую II на рис. 25.6), и увеличение объема приобретаемых товаров в результате снижения цен при неизменной сумме затрат (переход от точки А к точке Б по одной и той же кривой I на рис. 25.8).

Рис. 25.8. Зависимость спроса на товары от уровня цен

Как уже отмечалось, в общем случае спрос на отдельный товар при прочих равных условиях зависит от уровня цен всех товаров. Относительное изменение объема спроса при изменении цены данного товара или цен других, связанных с ним товаров, характеризует коэффициент эластичности спроса от цен, который удобно трактовать как величину изменения спроса в процентах при изменении цены на 1%.

Для спроса y_i, на i -й товар относительно его собственной цены р коэффициент эластичности исчисляется по формуле:

Значения коэффициентов эластичности спроса от цен практически всегда отрицательны. Однако по абсолютным значениям этих коэффициентов товары могут существенно отличаться друг от друга. Их можно разделить на три группы:

товары с неэластичным спросом в отношении цены (Е^p_ii больше – 1);

товары со средней эластичностью спроса от цены (Е^p_ii близко к – 1);

товары с высокой эластичностью спроса (E^p_ii меньше – 1).

В товарах эластичного спроса повышение цены на 1% приводит к снижению спроса более чем на 1%, и наоборот, такое же понижение цены приводит к росту покупок больше чем на 1%. Если повышение цены на 1% влечет за собой такое же понижение спроса менее чем на 1%, то говорят, что это товар неэластичного спроса.

Рассмотрим, как влияет на спрос на какой-либо товар изменение цен на другие товары. Коэффициент, показывающий, на сколько процентов изменится спрос на данный товар при изменении на 1% цены на другой товар при условии, что другие цены и доходы покупателей остаются прежними, называется перекрестным коэффициентом эластичности. Для спроса у_i на i -й товар относительно цены p_j на j -й товар (i ≠ j) перекрестный коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

По знаку перекрестных коэффициентов эластичности товары можно разделить на взаимозаменяемые и взаимодополняемые. Если E^p_ij > 0, это означает, что i -й товар заменяет в потреблении товар j, т.е. на товар i спрос переключается при увеличении цены на товар j. Примером взаимозаменяемых товаров могут служить многие продукты питания.

Если E^p_ij < 0, это служит признаком того что i -и товар в процессе потребления дополняет товар j, т.е. увеличение цены на товар j приводит к уменьшению спроса на товар i. В качестве примера можно привести такие вазаимодополняемые товары, как автомобили и бензин.

В качестве иллюстрации в табл. 25.6 приведены значения прямых и перекрестных коэффициентов эластичности потребления от цен для некоторой категории семей. На основании этих данных по значениям прямых коэффициентов эластичности (по диагонали таблицы) можно сделать вывод: продукты питания в целом являются малоэластичными по отношению к цене; одежда, ткани и обувь имеют среднюю эластичность; две последние группы товаров являются товарами с высокой эластичностью спроса по отношению к цене.

Таблица 25.6