Статистические данные о расходах на семью

Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (х ₁ ). Она выражается линейной функцией следующего вида:

Параметры a ₀и а ₁можно найти, решив систему нормальных уравнений, которая, в свою очередь, формируется с применением метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для рассматриваемого случая имеет вид:

где суммирование проводится по всем n группам. Используя данные табл. 25.7, получим систему уравнений:

решением которой являются значения a ₀ = 549, 68 и а ₁= 0, 1257.

Таким образом, модель имеет вид;

Уравнение (25.73) называется уравнением регрессии, коэффициент а ₁называется коэффициентом регрессии. Направление связи между у и х ₁определяет знак коэффициента регрессии а ₁(в нашем случае данная связь является прямой). Теснота этой связи определяется коэффициентом корреляции:

где S_y есть средняя квадратическая ошибка выборки у в табл. 25.7. Она находится по формуле:

где – средняя арифметическая значений у, а – средняя квадратическая ошибка нашего уравнения (25.73). Последняя определяется следующим образом:

где есть соответствующее значение, вычисленное по модели (25.73). В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. В нашем примере S_y ² = 454 070, = 63 846, следовательно:

Полученное значение свидетельствует, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная. Величина называется коэффициентам детерминации и показывают долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. В нашем случае = 0, 859; это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86% изменения расходов на питание.

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (х ₁ ) и размера семей (х ₂ ). Множественный (многофакторный) корреляционно-регрессивный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет тесноту этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае эта модель имеет вид:

Параметры модели a ₀, а ₁ и а ₂находятся путем решения системы нормальных уравнений:

Используя данные табл. 25.7, получим систему нормальных уравнений в таком виде:

Решая эту систему (например, методом Гаусса), получим: a ₀= 18, 63; а ₁ = 0, 0985; a ₂ = 224, 6, так что модель (25.75) имеет вид:

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции . Например:

где черта над символами означает среднюю арифметическую, a S_y и S_x1 – средние квадратические ошибки соответствующих выборок из табл. 27.7. Их можно вычислить следующим образом:

Аналогичный вид имеют формулы для и .

После этого вычисляется коэффициент множественной корреляции:

Данный коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак.

В нашем примере расчеты дают следующие значения коэффициента множественной корреляции: =0, 983, что выше значения коэффициента корреляции в случае однофакторной модели. Таким образом, связь расходов на питание с факторами душевого дохода и размера семей является очень высокой.

Величина называется совокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных признаков. В нашем примере = 0, 966; это означает, что совместное влияние = 0, 966; это означает, что совместное влияние душевого дохода и размера семей объясняет почти 97% изменения расходов на питание.

Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком х ₁при неизменном значении факторного признака х ₁рассчитывается по формуле:

где используются парные коэффициенты корреляции, рассчитываемые по формулам, аналогичным (25.77). Аналогичная формула имеет место для частного коэффициента корреляции между результативным признаком у и факторным признаком x ₂ при неизменном значении факторного признака х ₁.

Для рассматриваемого примера частные коэффициенты корреляции расходов на питание от душевого дохода и размера семей составляют:

Это означает, что теснота связи между расходами на питание и одним из исследуемых факторов при неизменном значении другого весьма велика.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора. В нашей задаче , следовательно, влиянием душевого дохода при неизменном размере семьи объясняется почти 86% изменения расходов на питание, а изменение размера семьи при неизменном душевом доходе объясняет более 72% изменения расходов на питание.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (25.75) считываются по формулам:

Черта над символом, как и ранее, означает среднюю арифметическую величину. Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным.

В рассматриваемом примере а ₁= 0, 0985; а ₂= 224, 6; = 1313, 9; = 6080, 6; = 3, 1, следовательно, по формулам (25.80) получим:

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1% и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0, 456%, а увеличение (условное) на 1% размера семьи при неизменяем душевом доходе приведет к возрастанию расходов на питание на 0, 530 %.

Вопросы для повторения

1. Перечислите важнейшие методы экономико-математического моделирования и сферы их оптимального применения в маркетинге.

2. Каков характер применения балансовых моделей в маркетинге?

3. Раскройте сущность модели межотраслевого баланса.

4. Опишите назначение и структуру оптимизационных моделей. Какие задачи маркетинга можно решать с их помощью?

5. Какие важнейшие методы и модели управления товарными запасами используются в маркетинге?

6. Перечислите основные системы регулирования товарных запасов и дайте их краткие характеристики.

7. Дайте определение понятия целевой функции потребления и кривых безразличия.

8. В чем суть построения функций спроса от дохода?

9. Назовите особенности построения структурных и конструктивных моделей спроса.

10. Опишите построение аналитических моделей спроса и потребления на основе корреляционно-регрессивного анализа.