Построение сетевого графика по заданной упорядоченности работ

Будем считать, что задан перечень работ, в совокупности составляющих некоторый проект:

.

(Работы пронумерованы и в дальнейшем ссылаемся на каждую работу по ее порядковому номеру).

Предположим далее, что для каждой работы j (1≤ j ≤ n) указаны ее непосредственные предшественники, то есть множество работ, выполнение которых является необходимым условием для начала работы j.

Пример. , то есть весь комплекс работ, составляющих проект, разбит на 7 работ, соотношения между ними отображены в таблице 1.

Таблица 1

Работы
Предшественники	–	–

Требуется построить сетевой график, соответствующий заданной упорядоченности работ.

Процедура построения сетевого графика распадается на несколько этапов.

I. Транзитивное замыкание отношения предшествования. Если работа i предшествует работе j, а работа j предшествует работе k, то, очевидно, работа i должна завершиться до начала работы k. Множество работ называется замкнутым (по транзитивности), если вместе с каждой работой оно содержит и всех ее предшественников.

Наименьшее замкнутое множество, содержащее множество работ М, называется транзитивным замыканием М.

На этапе I для каждого множества предшественников работы j строится его транзитивное замыкание. Оно будет состоять из всех работ i, для которых можно найти цепочку работ j₁, j₂, … j_p, такую, что i предшествует j₁, j₁ предшествует j_{2 , …} j_p предшествует j. Будем называть эти множества полными предшественниками работы j.

Продолжение примера. Полные предшественники для 7 работ рассматриваемого выше примера приведены в таблице 2.

Таблица 2

Работы
Полные предшественники	–	–

Среди построенных множеств встречаются одинаковые. Найдем все различные множества полных предшественников и обозначим их

. (5)

Продолжение примера. В рассматриваемом примере полагаем

Ø, , , .

Построением множеств (1) заканчивается этап I.Каждому из множеств в сетевом графике, который будет построен, соответствует вершина. Она так же будет обозначаться .

II. Построение конституент для множеств полных предшественников. Пусть – совокупность всех работ. Разбиение множества U на непересекающиеся подмножества

(6)

будем называть разбиением на конституенты, если каждое из множеств (5) полных предшественников можно представить в виде объединения некоторых конституент.

Продолжение примера. Пусть в рассматриваемом примере

, , , .

Тогда

, , , (7)

( представляется в виде пустой суммы).

Построением множеств (2) заканчивается этап II. Каждому из множеств в сетевом графике, который будет построен, соответствует вершина. Она так же будет обозначаться _.

Ш. Построение сетевого графика.

а) Вершинами сетевого графика служат построенные множества () и , (.

б) Работа изображается дугой с началом в множестве полных предшественников работы и ведущей в конституенту, содержащую работу . На рис. 1 показан фрагмент сетевого графика, содержащий работу 4.

Рис. 1

в) Сетевой график содержит также пустые дуги, помогающие обеспечить требуемую упорядочен­ность работ. Эти дуги не соответствуют работам (или можно считать, что они изображают работы с нулевым временем выполнения) и называются фиктивными. Фиктивные дуги проводятся следующим образом: для каждого представления множеств в виде суммы :

проводятся фиктивные дуги из каждой вершины в вершину .

Продолжение примера. Фиктивные дуги, соответствующие представлениям (7) для рассматриваемого нами примера показаны на рис. 2.

Рис. 2

Чтобы выяснить роль фиктивных дуг, рассмотрим, например, работу 4. Изображающая ее дуга начинается в вершине . В силу (3) . Фиктивные дуги " подводят" к вершине вершины и , где заканчиваются дуги, изображающие работы 2 и 1, 3 – предшественники работы 4. Следовательно, работа 4 будет начинаться после завершения всех ей предшествующих.

IV. Упрощение графа. Граф, построенный на предыдущем этапе можно упростить, удаляя из него некоторые фиктивные дуги (иногда все). Для этого применяются следующие два правила.

1°. Если фиктивная дуга соединяет вершины, между которыми есть другой путь, то эту дугу следует удалить.

2°. Если единственная дуга, выходящая из вершины (входящая в вершину) является фиктивной, то эту дугу следует удалить и слить ее концы в одну вершину.

Фактическое построение сетевого графика удобно совмещать с упрощениями 1°, 2°. Покажем как строится сетевой график в рассматриваемом примере. Работы помещаются на сетевой график в порядке их появления в исходной таблице, при этом одновременно производятся упрощения.

Продолжение примера. Работы 1 и 2 начинаются в и заканчиваются в и соответственно. Работа 3 начинается в , согласно (3), надо провести фиктивную дугу из в . На рис. 4 изображен фрагмент сетевого графика, построенный к этому моменту.

C2

Рис. 4. Этап 1

Так как фиктивная дуга является единственной входящей в (и останется таковой до конца построения, потому что только один раз фигурирует в левых частях (7)), то вершины и можно слить в одну (рис.5).

Рис. 5

В вершине (, )будет начинаться работа 3, которая заканчивается в вершине . Чтобы изобразить работу 4, вводим новую вершину – начало работы 4. В силу (7) ее нужно соединить фиктивными дугами с вершинами и (рис. 6).

Рис. 6

Дугу от к можно удалить по правилу 1°, так как имеется путь между этими вершинами. После удаления дуга – будет единственной входящей в и вершины и можно слить в одну по правилу 2°. Действуя подобным образом, приходим окончательно к графу, показанному на рис. 7.

11

Рис. 7