Визначення різності відміток, тиску, напорів

Приклад 1 При постійному напорі з бака по трубопроводу витікає вода. Визначіть напір Н, при якому витрата води складає Q = 7, 5 л/с, довжина трубопроводу – ℓ = 80 м, діаметр (внутрішній розрахунковий) d = 100 мм, труби сталеві ненові, коефіцієнти опорів: коліна x_к = 0, 45; засувки x_з = 4, 5; діафрагми x_д = 7.

Схема трубопроводу наведена на рисунку 2.1.

Рисунок 2.1

Розв’язання. Для розв’язання задачі застосуємо рівняння Бернуллі (1.1). Для застосування цього рівняння призначаємо перерізи таким чином, щоб до рівняння увійшла невідома величина, а інші величини були відомі. Крім перерізів потрібно обрати площину порівняння, від якої відлічуються відмітки z₁ та z₂. Переріз 1–1 призначаємо по вільній поверхні бака, переріз 2–2 – на вихідному кінці трубопроводу. Площину порівняння 0–0 проводимо крізь центр ваги перерізу 2–2 (рис. 2.2).

Рисунок 2.2

При такому розташуванні перерізів та площини порівняння їх параметри будуть такі: відмітки z₁ = Н, z₂ = 0, абсолютний (або повний) тиск у перерізі 1–1, оскільки на вільній поверхні бака заданий манометричний тиск складатиме ; тиск у перерізі 2–2 не заданий, тому за замовчуванням приймаємо . Для розрахункових перерізів виконується умова (2.3). Швидкості руху води в трубопроводах складають зазвичай одиниці м/с.. Зважаючи на те що площа перерізу бака 1–1 значно перевищує площу перерізу труби (2–2) можна вважати . В цьому випадку швидкісний напір у перерізі порівняно невеликий із потенційним напором ,, тому середню швидкість у перерізі 1–1 приймаємо , у перерізі 2–2 швидкість дорівнюватиме середній швидкості у трубопроводі .

Запишемо параметри перерізів у вигляді таблиці:

1–1	2–2
z1 = Н	z2 = 0

Підставивши параметри перерізів до рівняння Бернуллі, дістанемо:

.

Якщо скоротити праву та ліву частини на величину , отримаємо:

. (2.1)

Повний напір витрачається на подолання втрат напору у трубопроводі та створення швидкісного напору у вихідному перерізі труби.

Сумарні втрати напору визначаються за формулою (1.3). Підставимо до (1.3) вирази (1.4) та (1.5), у результаті отримаємо.

або

, (2.2)

де – сума коефіцієнтів місцевих опорів.

В даному випадку сума коефіцієнтів місцевих опорів складатиме

,

де – коефіцієнт опору входу у трубу. Оскільки геометрія приєднання труби до стінки бака невідома (не задана), вважатимемо, що труба приєднана під кутом 90° до стінки та кромки зроблені у рівень. У такому випадку приймаємо x_вх = 0, 5.

.

Середня швидкість руху води по круглоциліндричній трубі становитиме:

м/с.

Коефіцієнт тертя при швидкості V < 1, 2 м/с для сталевих ненових труб за формулою Ф.О. Шевелєва складатиме:

.

Розв’яжемо рівняння (2.1) відносно Н із урахуванням (2.2) і отримаємо:

або

, (2.3)

Підставимо у (2.3) числові значення отриманих раніше величин та будемо мати:

м.

Відповідь: напір становитиме Н = 1, 04 м.

2.2 Визначення витрати (пропускної здатності трубопроводу)

Приклад 2 Визначіть витрату води Q, яка перетікає з одного бака до іншого по трубопроводу діаметром d = 125 мм та довжиною ℓ = 65 м, труби чавунні ненові, відмітки складатимуть z_А = 48 м, z_В = 42 м. Коефіцієнти опорів: сітки x_с = 5, 5; коліна x_к = 0, 5; засувки x_з = 4, 0.

Схема трубопроводу наведена на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3

Розв’язання. Як у попередньому випадку, розв’язуємо задачу за допомогою рівняння Бернуллі (1.1). Для його застосування розрахункові перерізи розташовуємо по вільним поверхням рідини у баках, а площину порівняння сполучаємо з нижче розташованим перерізом 2–2 (рис. 2.4).

Рисунок 2.4

Тоді відмітки перерізів складатимуть , z₂ = 0. Абсолютний (або повний) тиск у перерізі 1–1, оскільки на вільній поверхні бака А за умовами задачі є вакуум, складатиме ; тиск у перерізі 2–2 не заданий, тому за замовчуванням приймаємо . Зважаючи на те, що площі перерізів 1–1 та 2–2 досить великі (порівняно з площиною поперечного перерізу трубопроводу), середні швидкості в них малі у порівнянні з швидкісю потоку в трубі (1.2) тобто швидкісними напорами у перерізах можна знехтувати.

Запишемо параметри перерізів у вигляді таблиці:

1–1	2–2
	z2 = 0

Підставивши параметри перерізів до рівняння Бернуллі, отримаємо:

.

Якщо скоротити праву та ліву частини на величину , дістанемо:

. (2.4)

Для визначення витрати необхідно визначити середню швидкість руху води по трубопроводу, оскільки .

Підставимо до рівняння (2.4) вираз для визначення втрат напору (2.2), отримаємо:

та виразимо звідси шукану величину – середню швидкість:

. (2.5)

В даному випадку сума коефіцієнтів місцевих опорів складатиме

.

де x_с – коефіцієнт опору сітки. – коефіцієнт опору виходу з труби, оскільки витікання відбувається під рівень ( [6, 7]).

Сума коефіцієнтів місцевих опорів для цього випадку становитиме

.

Коефіцієнт тертя для чавунних ненових труб визначається в залежності від швидкості руху за залежностями

(2.6)

Оскільки для визначення коефіцієнта опору потрібно мати значення швидкості, яке є шуканою величиною, потрібно розв’язати системи двох рівнянь з двома невідомими (2.5) та (2.6).

Розв’яжемо цю систему методом послідовних наближень.

У першому наближенні задаємося значенням швидкості.

Нехай V₁ = 1, 2 м/с (в даному випадку індекс 1 – це номер ітерації).

Визначаємо коефіцієнт тертя за відповідною залежністю

.

Підставимо усі відомі значення в рівняння (2.5), отримаємо:

м/с.

Порівняємо значення швидкості, прийняте з розрахованим:

.

Різниця між значеннями складає 22 %. Це дуже велика різниця, потрібно щоб різниця між швидкостями складала не більше ніж 2 %. Тому потрібно робити наступне наближення (ітерацію).

Оскільки відшукане значення швидкості м/с, коефіцієнт тертя визначатиметься за залежністю

.

Розраховуємо нове значення швидкості (V₃) при новому значенні коефіцієнта опору тертя:

м/с.

Порівняємо знайдене значення швидкості із попереднім.

.

Значення швидкості, визначене в останній ітерації, може бути прийняте за розрахункове для визначення витрати, оскільки різниця між цим значенням та значенням, отриманим в останній ітераціях складає лише 1, 2 %.

Витрата води, яка перетікає з одного бака до іншого по трубопроводу, складатиме (за формулою 1.2)

м³/с, або 11, 3 л/с.

Відповідь: з бака А до бака Б перетікає вода з витратою 11, 3 л/с.