Однополостный гиперболоид

Это поверхность, полученная из однополостного гиперболоида вращения сжатием пространства к плоскости, проходящей через ось вращения, а именно к плоскости (уOz) с коэффициентом , где а > 0.

→

Получим каноническое уравнение однополостного гиперболоида (2).

Свойства.

1. Поверхность симметрична относительно координатных плоскостей, осей координат, начала координат.

Начало координат – это центр однополостного гиперболоида.

2. Точки пересечения с координатными осями.

Оси Ох и Оу – действительные оси, на них лежат вершины и , и . Ось Оz – мнимая (гиперболоид ее не пересекает).

3. Пересечения с координатными плоскостями и им параллельными.

1) Пусть однополостный гиперболоид рассечен плоскостями, параллельными (xOy):

→ – уравнение эллипса в плоскости z = h.

Если h = 0, то в плоскости (xOy) получим эллипс с уравнением , который называется горловым эллипсом.

2) Пусть однополостный гиперболоид рассечен плоскостями, параллельными (xOz): .

→

a. Если h = 0, то – гипербола с действительной осью Ох, лежащая в плоскости (xOz);

b. Если < b, то > 0

→ гипербола с действительной осью Ох;

c. Если , то – две пересекающиеся прямые;

d. Если > b, то < 0 →

– гипербола с действительной осью Оz.

3) Аналогично получаются сечения однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости (yOz).