Тема: Характеристические и производящие функции.

Цель:

1. Ознакомиться с понятием абсолютного момента.

2. Ознакомиться с понятием факториального момента.

3. Ознакомиться с понятием характеристической функции.

4. Ознакомиться с понятием производящей функции.

Теоретические сведения:

В некоторых случаях используются абсолютные и факториальные моменты, которые соответственно определяются формулами:

, (28)

(29)

где .

С помощью факториальных моментов можно в более компактном виде записать моменты некоторых дискретных распределений (типа биномиального) и, кроме того, в задачах определенного класса, включающих дискретные случайные величины, часто удобно находить начальные моменты , предварительно вычислив факториальные.

Моменты — не единственные постоянные, характеризующие распределение случайной величины. Для теории более полезна другая совокупность постоянных, называемых семиинвариантами (или кумулянтами) . Отличие их от моментов относительно произвольной точки состоит в том, что все семиинварианты (за исключением первого) инвариантны относительно изменения начала отсчета. Название «семиинварианты» как раз и обусловлено их инвариантными свойствами.

Различные моменты и семиинварианты связаны между собой следующими соотношениями:

(30)

(31)

, (32)

, …

, (33)

, …

, , , (34)

, …

, , (35)

, , …

, , , … (36)

, , , … (37)

, , , … (38)

, …

, , , (38)

, …

В формулах (34) и (35) предполагается, что возможные значения случайной величины отличаются на единицу.

В случае аналитического задания закона распределения (в виде формулы) определение моментов сводится к вычислению соответствующих сумм и интегралов (см. табл. 2.3). Расчет моментов упрощается, если воспользоваться аппаратом характеристических функций.

Характеристическая функция определяется как математическое ожидание случайной величины , т. е.

, (39)

где -вещественная величина, .

Используя представление плотности вероятности в виде суммы дельта-функций, формулу (39) можно распространить на дискретные случайные величины:

(40)

где — возможные значения случайной величины , - соответ-ствующие им вероятности.

Плотность вероятности однозначно выражается через характеристическую функцию:

, (41)

Из (40) видно, что при изменении знака у показателя экспоненты определение характеристической функции совпадает с определением спектральной функции. Поэтому для нахождения по известной плотности или по можно пользоваться таблицами преобразований по Фурье (или по Лапласу с учетом пределов интегрирования).

Для определения моментов случайной величины нужно вычислить -ю производную от характеристической функции по параметру и положить :

. (42)

Семиинварианты определяются из соотношения

(43)

Вместо характеристических функций часто используются так называемые производящие функции:

. (44)

Существенное различие между ними состоит в том, что характеристическая функция существует всегда, а производящая функция — только в случае существования всех моментов.

В табл. 2.4 приведены формулы для основных числовых характеристик дискретных законов распределения, а в табл. 2.5 — для наиболее распространенных непрерывных законов распределения.

Пример 1. По каналу связи с помехами передается кодовая комбинация, состоящая из двух импульсов. В результате независимого воздействия помехи на эти импульсы каждый из них может быть подавлен с вероятностью р.

Определить характеристическую функцию случайной величины — числа подавленных помехами импульсов.

Решение. Возможные значения дискретной случайной величины X: , , . Вероятности этих значений соответственно равны: , , .

Согласно формуле (40) имеем

= = = = .

Пример 2. Случайная величина имеет равномерную плотность вероятности в интервале от до .

Определить характеристическую функцию случайной величины и нарисовать ее график.

Решение. Так как случайная величина распределена на интервале от до , плотность вероятности . Тогда по формуле (39):

.

Графики плотности вероятности и соответствующей ей характеристической функции приведены на рисунке.

а) б)

Рис. Равномерная плотность вероятности (а) и соответствующая ей характеристическая функция (б)

Пример 3.

Найти плотность вероятности случайной величины , характеристическая функция которой имеет вид

Решение. Согласно формуле (41) имеем

= = = ,

т.к. .

Пример 4.

Случайная величина подчинена - распределению, плотность вероятности которого имеет вид

Вычислить характеристическую функцию и начальные моменты величины .

Решение. Так как плотность вероятности отлична от нуля только при , то

.

Воспользовавшись интегралом , получим

.

Начальные моменты связаны с характеристической функцией соотношением (42):

.

В нашем случае

,

,

,

, …,

.

Таким образом, .

Пример 5.

Найти центральные и центральные абсолютные моменты случайной величины , распределенной по равномерному закону .

Решение.

Моментом -то порядка случайной величины X относительно произвольной точки называется математическое ожидание величины :

Момент, рассматриваемый относительно математического ожидания (а = ) называется центральным, т.е. .

Для дискретной случайной величины математическое ожидание , если — непрерывная случайная величина с плотностью вероятности , то .

Тогда для дискретной случайной величины = , для непрерывной случайной величины - = .

Абсолютный момент - го порядка , тогда абсолютный центральный момент - го порядка . Тогда для дискретной случайной величины , для непрерывной случайной величины - .

Найдем математическое ожидание = = = == .

Интеграл , как интеграл от нечетной функции в симметричных относительно начала координат пределах.

Для нахождения второго интеграла используем интеграл Пуассона , тогда .

Окончательно, .

Найдем центральный момент .

= = .

При - нечетном – интеграл, то =0.

При - четном, .

= = = = = =

= = = = .

Окончательно, получаем: .

Найдем абсолютный центральный момент - го порядка .

= = = =

= + .

= = .

= = = = = = = .

Задания 1.

1. Показать, что начальный факториальный момент четвертого порядка случайной величины связан с начальными моментами следующим соотношением:

.

2. Случайная величина подчинена распределению с плотностью вероятности , . Вычислить характеристическую функцию .

3. По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск пяти ракет, с вероятностью попадания в цель при каждом пуске. Случайная величина X (число попаданий в цель) может принять следующие значения: , , , , , . Эти значения случайная величина принимает с вероятностями , которые в соответствии равны: , , , , , .

Определить характеристическую функцию случайной величины — числа подавленных помехами импульсов.

4. Найти центральные и центральные абсолютные моменты случайной величины , распределенной по равномерному закону .

5. Показать, что распределение с характеристической функцией обладает плотностью вероятности .

6. Найти центральные и центральные абсолютные моменты случайной величины , распределенной по гауссовскому закону .