Теоретические сведения

Событие — всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События подразделяются на достоверные (U), невозможные (V) и случайные (А, В, С,... или А₁, А₂, А₃,...). Вероятность достоверного события принимается за единицу, а вероятность невозможного — за нуль:

P(U) = 1, P(V) = 0.

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей:

(6.1)

Если всякий раз, когда происходит событие А, происходит также событие В, то говорят, что событие А влечет за собой событие В и обозначают , где — знак включения. Если и в то же время , то события А и В называются равносильными (эквивалентными) и обозначаются А = В. В этом случае Р(А) = Р(В).

Суммой или объединением множества событий А₁, А₂, А₃,... называется такое событие А, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит по крайней мере одно («хотя бы одно») из этих событий. Сумма событий А₁, А₂, А₃,...обозначается

или .

где — символ объединения событий (логическая операция ИЛИ).

Из определения суммы событий непосредственно вытекают следующие соотношения:

, , , , . (6.2)

Произведением (или пересечением, или совмещением) событий А₁, А₂, А₃,... называется такое событие , которое происходит тогда и только тогда, когда происходят все события вместе («одновременно»). Для обозначения произведения событий применяются следующие записи:

, или ,

где — сивмол пересечения событий (логическая операция И).

Для произведения событий справедливы соотношения:

, , , , . (6.3)

Для операций умножения и сложения событий, применяемых совместно, справедлив обычный распределительный (дистрибутивный) закон

(6.4)

и, кроме того, так называемый «второй распределительный закон»

(6.5)

События А, В, С,... образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них. Другими словами, сумма событий, образующих полную группу, есть достоверное событие, т. е.

.

События А и В называются несовместными (или несовместимыми), если их совместное появление невозможно, т. е. если

.

Два события называются противоположными (дополнительными), если они несовместны и образуют полную группу. Событие, противоположное событию , обозначается . Нахождение противоположного события эквивалентно логической операции НЕ (отрицания), иными словами = не .

Для противоположных событий справедливы формулы

, , , , (6.6)

, , , .

Когда рассматриваемый опыт имеет N равновозможных исходов, которые

несовместны и составляют полную группу (схема случаев), вероятность события

, (6.7)

где — число исходов, которые приводят к наступлению события (благоприятствуют событию ).

При решении задач на непосредственный подсчет вероятностей с использованием формулы (1.7) общих способов для нахождения.чисел и нет. Во многих случаях целесообразно использовать «комбинаторные» способы, т. е. теорию соединений (размещений, перестановок, сочетаний). При этом часто приходится вычислять число сочетаний

. (6.8)

Если значения и велики, то используют приближенную формулу Стирлинга

. (6.9)

Эта формула дает хорошую точность приближения и при сравнительно небольших значениях . Так, например, относительная погрешность не превосходит 0, 1 при , 0, 01 — при и 0, 001 — при .

В некоторых задачах понятие равновозможности событий применяется к опытам с бесконечным числом исходов, когда числа N и определить невозможно. Иногда же проще вычислить саму вероятность события (отношение n / N), а не порознь числа исходов и N. В таких случаях пользуются геометрическими вероятностями, которые определяются формулой

, (6.10)

где G — геометрическая мера (длина, площадь, объем и т. д.) всей области, g — геометрическая мера части области G, попадание в которую благоприятствует событию А.

Кроме того, условия применимости формулы (6.7) весьма ограничены (формула применима только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев). В большинстве практических задач, связанных с реальными явлениями, вероятность непосредственно связывают с эмпирическим понятием частоты.

Частотой или статистической вероятностью события А в данной серии опытов называется отношение числа опытов , в которых появилось событие А, к общему числу N произведенных опытов:

, (6.11)

По теореме Бернулли при большом числе опытов частота сходится по вероятности к вероятности события, т. е. при любом

.

Определение вероятности сложного события А через вероятности более простых событий базируется на использовании основных теорем теории вероятностей (теорем сложения и умножения вероятностей и их следствий).

Согласно теореме сложения вероятностей вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

(6.12)

Если события А и В несовместны, то

(6.13)

Формулы (6.12) и (6.13) обобщаются на сумму любого числа событий.

Сумма вероятностей несовместных событий, составляющих полную группу, равна единице:

. (6.14)

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:

(6.15)

По теореме умножения вероятностей для двух событий вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что произошло первое:

(6.16)

где — условная вероятность события А, т. е. вероятность события А, вычисленная в предположении, что имело место событие В.

Если событие А статистически не зависит от события В, то = Р (А), причем события А и В называются независимыми. При независимых событиях А и В выражение (6.16) принимает вид

(6.17)

Формулы (6.16) и (6.17) обобщаются на событий .

Решение многих практических задач требует совместного использования теорем сложения и умножения вероятностей. В частности, с помощью этих теорем производится расчет вероятности безотказной работы, например радиотехнических систем.

Вероятностью безотказной работы некоторой системы (или ее элемента) называют вероятность того, что система (элемент) в течение установленного времени будет работать без отказов.

При объединении нескольких элементов в систему различают их параллельное соединение (резервирование) и последовательное (основное). При параллельном соединении (рис. 6.1) отказ системы возможен только при отказе всех элементов, а при последовательном (рис. 6.2) отказ системы происходит при отказе любого элемента.

Рис. 6.1. Последовательное соединение Рис. 6.2. Последовательное соединение элементов элементов

Вероятность безотказной работы системы из параллельно соединенных элементов

. (6.18)

где — вероятность безотказной работы -го элемента на интервале (0, t). С увеличением числа параллельно включенных элементов вероятность безотказной работы системы возрастает.

Если система состоит из последовательно соединенных элементов, то вероятность безотказной работы системы вычисляется по формуле

. (6.19)

С увеличением числа последовательно включенных элементов вероятность безотказной работы системы убывает.

Во многих реальных ситуациях то или иное событие А может появиться лишь как случайное следствие одного из несовместных событий , (), которые входят в некоторую полную группу событий и называются гипотезами. В таких случаях безусловная вероятность Р (А) события А при известных вероятностях гипотез и условных вероятностях определяется по формуле полной (или средней) вероятности-.

. (6.20)

При этих же данных, т. е. известных вероятностях и , можно найти изменение вероятностей гипотез ; если предположить, что событие А уже произошло. Задачи подобного типа решаются с помощью теоремы гипотез (или формулы Байеса):

= . (6.21)

Вероятность называется априорной (доопытной), а —апостериорной (послеопытной) или обратной вероятностью.

В теории передачи сообщений, теории стрельбы, при контроле качества продукции и т. д. часто возникают задачи по определению вероятности появления какого-то события А в результате серии опытов, в каждом из которых это событие может произойти или не произойти. Проще всего они решаются тогда, когда опыты являются независимыми, т. е. вероятность того или иного исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.

Способ решения подобных задач дает теорема о повторении опытов (формула

Бернулли).

Вероятность того, что при независимых опытах (испытаниях) событие А появится ровно раз, если при каждом опыте вероятность события А одинакова и равна р, определяется формулой

, (6.22)

где .

Формулой (6.22) неудобно пользоваться при больших . В этом случае для подсчета вероятности применяют приближенные формулы.

Если велико, р мало, а имеет конечное значение, то пользуются приближенной формулой Пуассона

. (6.23)

Приближенное значение относительной погрешности при применении формулы (6.23) вместо (6.22) равно

.

Когда не слишком мало, то применяется локальная формула Муавра — Лапласа:

, (6.24)

где

, .

Приближенное значение относительной погрешности при вычислении вероятности по формуле (6.24) равно

.

С помощью формулы (6.22) можно вычислить вероятность того, что при независимых опытах событие А, имеющее вероятность р, появится не менее раз:

= . (6.25)

Вероятность появления события хотя бы один раз при опытах равна

. (6.26)

Вероятность того, что при независимых опытах событие А, имеющее вероятность р, появится не более раз, определяется выражением

. (6.27)

Если вероятность появления события в каждом опыте равна р, то вероятность того, что в серии из независимых опытов событие А появится от до раз включительно, равна

. (6.28)

При больших , и этой формулой пользоваться затруднительно. В этом случае используют приближенную интегральную формулу Муавра — Лапласа

. (6.29)

где

, , .

Количество опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью, не меньшей можно было утверждать, что данное событие произойдет по крайней мере один раз, находится по формуле

. (6.30)

Наивероятнейшим числом появлений события А в независимых опытах называется такое значение , при котором вероятность наибольшая. Это число определяется по формуле

. (6.31)

Если — дробное число, то неравенство (6.31) определяет одно значение наивероятнейшего числа. Если же — целое число, то неравенство (6.31) определяет два значения наивероятнейшего числа.

Формула (6.22) составляет содержание так называемой частной теоремы о повторении опытов. Известно несколько ее обобщений. Одно из них относится к случаю, когда из-за изменяющихся условий при проведении независимых опытов вероятность р меняется от одного опыта к следующему (общая теорема о повторении опытов). В этом случае вероятность появления события А ровно раз определяется по производящей функции:

, (6.32)

где — вероятность появления события в -м опыте, .

Искомая вероятность равна коэффициенту при в разложении производящей функции и может быть определена дифференцированием функции :

. (6.33)

Другое обобщение формулы (6.22) относится к случаю, когда каждый опыт может иметь не два, а большее число исходов. Если, например, при каждом повторении опыта может произойти только одно из событий соответственно с вероятностями , , то вероятность того, что при независимых опытах событие появится раз, событие появится раз и т. д., событие появится , , определяется формулой полиномиального распределения

. (6.34)

Вероятность является коэффициентом при в разложении по степеням аргументов полинома

, (6.35)

представляющего собой производящую функцию для совокупности чисел .

Пример 1.

Производится прием кодовых комбинаций, содержащих пять цифр от 1 до 5.

Какова вероятность Р (А) того, что в принятой комбинации цифры образуют последовательность 12345?

Решение. Число всех равновозможных случаев N равно числу перестановок из пяти элементов, т. е. N = =5! =120. Из этих случаев благоприятствующим событию А является только один, т. е. =1. Следовательно,. Р(А) = n/N = 1/5! = 1/120.

Пример 2.

По данным ремонтной мастерской в среднем из 100 отказов телевизора 50% обусловлено выходом из строя электронных ламп, 15% — конденсаторов, 12% — резисторов, 5% — кинескопов, а остальные отказы обусловлены другими причинами.

Найти вероятность отказа телевизора по другим причинам.

Решение. По условию вероятности выхода из строя телевизора из-за отказа различных элементов равны:

= 0, 5; = 0, 15; = 0, 12; = 0, 05,

где , , , — отказы телевизора, обусловленные соответственно выходом из строя электронных ламп, конденсаторов, резисторов и кинескопов. События , , , , составляют полную группу. Следовательно,

= = 1 —(0, 5 +0, 15 +0, 12 +0, 05) == 0, 18.

Пример 3.

Обнаружение воздушной цели производится независимо двумя радиолокационными станциями. Вероятность Р (А) обнаружения цели первой станцией равна 0, 7. Вероятность Р (В) обнаружения цели второй станцией равна 0, 8.

Определить вероятность Р (С) того, что цель будет обнаружена хотя бы одной станцией.

Решение. По условию события А и В независимы, поэтому вероятность совместного события АВ (цель обнаружена обеими станциями)

Р (АВ) = Р (А) Р (В) = 0, 7∙ 0, 8=0, 56.

Используя формулу (6.12), получаем

Р(С) = Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) = = 0, 7 + 0, 8 — 0, 56 = 0, 94.

Пример 4.

Каждая буква слова «математика» написана на отдельной карточке, карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются четыре карточки.

Какова вероятность Р (А) получить слово «тема»?

Решение. Пусть , , , — события, состоящие в последовательном извлечении букв «т», «е», «м», «а». Тогда соответствующие вероятности равны:

, , ,

Применяя обобщенную формулу (6.16), получаем

P(A)= = = .

Пример 5.

Система управления состоит из четырех узлов , , , (рис. 6.3). Вероятности , безотказной работы узлов соответственно равны , , , .

Вычислить вероятность безотказной работы Р всей системы управления.

Рис. 6.3. Структурная схема системы управления

Решение. Вероятность безотказной работы цепи из двух последовательно соединенных элементов , согласно формуле (6.19) равна

.

Вероятность безотказной работы цепи, состоящей из двух параллельно соединенных элементов , , определим по формуле (6.18):

.

Применяя формулу (6.18) еще раз, получаем:

= .

Пример 6.

Вероятности того, что параметры одного из трех блоков радиостанции (антенно-фидерного устройства, приемника или передатчика) выйдут за время полета самолета из допусков, равны соответственно 0, 1; 0, 2 и 0, 3. Если из поля допусков вышли параметры одного блока, связь не будет установлена с вероятностью 0, 25, если двух блоков, то 0, 4, если трех, то 0, 5.

Найти вероятность Р (А) того, что связь не будет установлена.

Решение. К интересующему нас событию А ведут три гипотезы: — за поле допусков вышли параметры одного блока; — за поле допусков вышли параметры двух блоков; — за поле допусков вышли параметры трех блоков.

Согласно теореме сложения и умножения вероятностей имеем

=0, 398,

=0, 092,

= 0, 006.

По условию =0, 25, =0, 4, =0, 5.

Следовательно, по формуле полной вероятности (6.20) получим

=0, 398∙ 0, 25+0, 092∙ 0, 4 + 0, 006∙ 0, 5 0, 139.

Пример 7.

По каналу связи, подверженному воздействию помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых комбинаций 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд соответственно равны 0, 7 и 0, 3. Из-за наличия помех вероятность правильного приема каждого из символов (1 и 0) уменьшается до 0, 6. Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. На выходе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110. Определить, какая команда была передана?

Решение: Пусть А — событие, состоящее в приеме комбинации 10110. К этому событию ведут две гипотезы: — была передана комбинация 11111; — была передана комбинация 00000. По условию =0, 7; =0, 3. Условная вероятность приема кодовой комбинации 10110 вместо 11111 равна

= 0, 6∙ 0, 4∙ 0, 6∙ 0, 6∙ 0, 4 0, 035.

Аналогично

= 0, 4∙ 0, 6∙ 0, 4∙ 0, 4∙ 0, 6 0, 023.

По формуле (6.21) находим

= ,

= .

Сравнивая найденные условные вероятности, заключаем, что при появлении на выходе комбинации 10110 с вероятностью 0, 78 была передана команда 11111.

Пример 8.

Производится 6 независимых выстрелов по цели. Вероятность р попадания при каждом выстреле равна 0, 75. Вычислить: 1) вероятность ровно пяти попаданий; 2) вероятность не менее пяти попаданий; 3) вероятность более трех промахов.

Решение. 1. По условию вероятность попадания при каждом выстреле = 0, 75. Следовательно, вероятность промаха = = 0, 25. Вероятность ровно пяти попаданий по формуле (6.22) равна

= =6∙ (0, 75)⁵∙ 0, 25 0, 356.

2. Требование, чтобы при 6 выстрелах было не менее пяти попаданий, будет удовлетворено, если осуществится 5 или 6 попаданий.

Эти события несовместны. Поэтому по формуле (6.25) имеем

= + = 6∙ (0, 75)⁵∙ 0, 25+ (0, 75)⁶ 0, 534.

3. Вероятность того, что при 6 выстрелах будет более трех промахов, равна вероятности того, что при этих 6 выстрелах будет меньше трех попаданий (или ни одного попадания, или одно, или два попадания). Используя формулу (6.27), получим

= + + =6∙ (0, 25)⁵∙ 0, 75+(0, 25)⁶+ +15∙ (0, 75)²∙ (0, 25)⁴ 0, 0376.

Пример 9.

Вероятность р появления события А при каждом испытании равна 0, 2. Производится 400 независимых испытаний.

Определить вероятность того, что: 1) событие А наступит ровно 80 раз; 2) событие А наступит от 60 до 96 раз включительно.

Решение. 1. Воспользуемся приближенной локальной формулой Муавра — Лапласа (6.24). По условию = 400; = 80; р = 0, 2; q = 0, 8. Следовательно,

== (80 — 400∙ 0, 2)/ =0.

Тогда

.

По таблице (см. приложение I) находим =0, 3989. Окончательно получаем

0, 0499.

2. Используем приближенную интегральную формулу Муавра — Лапласа (6.29)

= , =

По таблице (см. приложение II) находим Ф(2)=0, 977; Ф(2, 5)=0, 994.

Следовательно,

=0, 977—1+0, 994=0, 991.

Пример 10.

Противотанковое орудие ведет стрельбу по танку. Всего производится 6 выстрелов, причем вероятность попадания в танк при каждом выстреле равна 0, 3.

Рассчитать: 1) наивероятнейшее число попаданий в танк; 2) число выстрелов, необходимых для того, чтобы с вероятностью 0, 9 поразить танк, если для этого достаточно одного попадания.

Решение. 1. Наивероятнейшее число попаданий находим по формуле (6.31). По условию, = 6, р = 0, 3, q = 1 — р = 0, 7.

Следовательно, , т. е.

Между числами 1, 1 и 2, 1 заключено лишь одно целое число — 2.

Поэтому наивероятнейшее число = 2.

2) Применив формулу (6.30), получим

6, 45.

Таким образом, для поражения танка с вероятностью 0, 9 достаточно произвести 7 выстрелов.

Пример 11.

Система наведения ракеты имеет четыре датчика информации о цели , , , информация с которых поступает в систему управления ракетой. Каждый датчик независимо от других определяет параметры движения цели. Вероятности правильного определения параметров соответствующими датчиками равны: = 0, 9, = 0, 95, = 0, 8, = 0, 85.

Вычислить вероятности , = 0, 1, 2, 3, 4, того, что правильную информацию не выдаст ни один датчик и выдадут один, два, три, четыре датчика.

Решение. Для определения вероятностей составим производящую функцию. По условию, = 4; = 0, 9, =0, 1, = 0, 95, =0, 05, = 0, 8, =0, 2, = 0, 85, =0, 15.

Тогда

=

= .

Искомые вероятности равны коэффициентам при . Следовательно,

=0, 0002, =0, 0056, =0, 0696, =0, 3432, р4 D)=0, 5814.

Пример 12.

На участке обстрела находятся три цели. Вероятности попадания в первую, вторую и третью цели соответственно равны = 0, 4, = 0, 3, = 0, 2. По участку произведено 12 выстрелов.

Какова вероятность того, что в первую цель попадет 5 снарядов, во вторую — 4, в третью — 2 снаряда?

Решение. По условию, = 12, = 0, 4, = 0, 3, = 0, 2, = 1 — ( + + )= =1—0, 9=0, 1, = 5, = 4, = 2, =12—5—4—2=1. Здесь — вероятность попадания в область, яаходящуюся вне целей, — число попаданий в эту область.

Согласно формуле (6.34)

искомая вероятность

0, 0276.

Задания.

1. Принимаются кодовые комбинации, содержащие пять неповторяющихся цифр от 1 до 5.

Какова вероятность Р того, что в одной принятой комбинации цифры образуют последовательность 12345?

2. Проводится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад равна 0, 01, во второй— 0, 008, в третий — 0, 025. При попадании в один из складов взрываются все три.

Определить вероятность того, что склады будут взорваны.

3. По каналу связи передаются два сигнала: нуль и единица. Из-за наличия помех посланный сигнал принимается ошибочно с вероятностью 0, 01 и принимается правильно с вероятностью 0, 99 (независимо от того, были приняты предшествующие сигналы с ошибкой или правильно).

Зная, что послана комбинация 10110, найти вероятность того, что: а) она принята без искажений; б) принята комбинация 11110.

4. Между корреспондентами М и N происходит обмен информацией по схеме, приведенной на рис. 6.5, где и - оконечная аппаратура, а , , — каналы, взаимно резервирующие друг друга. Выходы из строя элементов схемы—независимые события.

Вероятности безотказной работы элементов , , , , за время Т соответственно равны: 0, 8; 0, 7; 0, 9; 0, 6; 0, 5.

Какова вероятность того, что за время Т не произойдет перерыва связи?

Рис. 1.6. Система передачи информации с тремя параллельными элементами

5. Связная самолетная радиостанция может работать в трех режимах по мощности: полной, половинной и при мощности, составляющей 25% полной мощности. Вероятности работы радиостанции в этих режимах соответственно равны 0, 7; 0, 1; 0, 2.

Вероятности отказа радиостанции при работе в этих режимах за время Т составляют соответственно 0, 3; 0, 2; 0, 05.

Определить вероятность того, что за Т часов работы радиостанция не выйдет из строя.

6. Радиоэлектронный комплекс самолета-бомбардировщика включает в себя 10 объектов. Вероятность безотказной работы каждого объекта в течение времени Т равна 0, 9. Объекты выходят из строя независимо один от другого.

Вычислить вероятность того, что за время Т: а) откажет хотя бы один объект; б) откажут ровно два объекта; в) откажут не менее двух объектов.

7. На ограничитель поступает последовательность из восьми случайных по амплитуде независимых видеоимпульсов. Вероятность превышения порога ограничения каждым импульсом равна 0, 25.

Вычислить: а) вероятность того, что из 8 импульсов не менее 6 видеоимпульсов превысит порог; б) наивероятнейшее число видеоимпульсов, превысивших порог.

8. Вероятность попадания в самолет при одном выстреле равна 0, 01. По самолету производится 100 независимых выстрелов.

Определить вероятность двух попаданий в самолет.