Глава 1. Производная функции. Ее геометрический смысл.

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет? Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года. На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку A с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке А равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке:

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Что такое касательная к графику функции? Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника AMN:

. Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной. Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции. Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол α с положительным направлением оси OX. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол β с положительным направлением оси OX. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

· Если функция возрастает, ее производная положительна.

· Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка C — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке D— точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

· Если производная положительна, то функция возрастает.

· Если производная отрицательная, то функция убывает.

· В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

· В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	Точка минимума	возрастает
	+		-		+

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке Е касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки Е функция возрастала — и после точки Е продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

Примеры решения задач из ЕГЭ к главе 1.

Пример 1. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y=f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x ₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x ₀.

Решение: Производная функции в точке x ₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке: .

По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (1; 2), B (1; − 4), C(− 2; − 4). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу ACB:

Пример 2. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функции y =f(x) и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x ₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x ₀.

Решение: Производная функции в точке x ₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке: .

По­стро­им тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точках A (− 2; − 9), B (− 2; − 3), C (− 5; − 3). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен углу, смеж­но­му с углом ACB. По­это­му

Замечание: Внимательно читайте, что изображено на графике (производная или сама функция) и о чем вас спрашивают в задании (о производной функции или о самой функции). Ответы будут различными. Ниже приведены примеры, в которых имеются подобные «ловушки»

Пример 3. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и две­на­дцать точек на оси абс­цисс: В сколь­ких из этих точек про­из­вод­ная функ­ции отри­ца­тель­на?

Решение: От­ри­ца­тель­ным зна­че­ни­ям про­из­вод­ной со­от­вет­ству­ют ин­тер­ва­лы, на ко­то­рых функ­ция убы­ва­ет. В этих ин­тер­ва­лах лежат точки Таких точек 7.

Пример 4. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции и от­ме­че­ны точки − 2, − 1, 1, 2. В какой из этих точек зна­че­ние про­из­вод­ной наи­боль­шее? В от­ве­те ука­жи­те эту точку.

Решение: Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. Про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на в точ­ках − 2 и 2. Угол на­кло­на (и его тан­генс) явно боль­ше в точке − 2.

Ответ: − 2.

Пример 5. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y = f (x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (− 2; 12). Най­ди­те сумму точек экс­тре­му­ма функ­ции f (x).

Решение: За­дан­ная функ­ция имеет мак­си­му­мы в точ­ках 1, 4, 9, 11 (красные точки) и ми­ни­му­мы в точ­ках 2, 7, 10 (зеленые точки). По­это­му сумма точек экс­тре­му­ма равна 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44.

Так же на рисунке отмечены точки перегиба (желтым). Они не являются точками экстремума.

Пример 6. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f (x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (− 8; 3). В какой точке от­рез­ка [− 3; 2] функ­ция f (x) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние?

Решение: На за­дан­ном от­рез­ке про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, по­это­му функ­ция на этом от­рез­ке убы­ва­ет. По­это­му наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся на левой гра­ни­це от­рез­ка, т. е. в точке − 3.

Пример 7. На рисунке изображен график функции . Определите количество целых точек в которых функция f(x) неотрицательна?

Решение: Функция f(x) неотрицательна там, где она выше оси ОХ (выделено зеленым на рисунке!).

Всего 9 целых точек (красные) в которых функция не отрицательна (положительна или равна 0).

Пример 8. На рисунке изображен график функции . Определите количество целых точек в которых производная функции f(x) неотрицательна?

Решение: Производная функции f(x) должна быть неотрицательна. Значит она должна быть положительной или равной 0. Производная положительна в точках, в которых функция возрастает, а равна нулю в точках максимума и минимума.

Всего 5 целых точек в которых производная функции неотрицательна (красные точки).

Глава 2. Правила дифференцирования. Таблица производных.

Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции (глава 1). А если функция задана формулой — вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Примеры нахождения производных от простых функций.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3. Вычислить производную функции

Согласно правилу 1:

Вычислим производные по отдельности:

Пример 4. Вычислить производную функции

Согласно правилу 3:

Пример 5. Вычислить производную от функции

Согласно правилу 4:

Теперь поговорим о сложной функции, но для начала разберемся а что же такое сложная функция. Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, формула

смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от функции .

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)). То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)). К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx). Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а - целая рациональная функция, тогда .

Формула нахождения производной сложной функции.