Глава 4. Исследование функций с помощью производной. Задание 12.

Пусть дана функция на отрезке

Алгоритм выполнения задания 12:

1. Записать ОДЗ функции (Если оно имеется)

2. Найти производную функции

3. Решить уравнение

4. Отметить точки (решения уравнения на числовой прямой). На ней же обозначить ОДЗ

5. Определить знаки производной на промежутках.

6. Нарисовать как ведет себя функция на промежутках (Когда производная положительна – функция возрастает, когда производная отрицательна – функция убывает.)

7. Найти точки максимума и минимума. В ответ указать точку максимума или минимума . Если же требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции см. пункт 8.

8. Если необходимо найти наибольшее (наименьшее) значение функции, тогда следует в функцию подставить точку максимума (минимума), а так же концы отрезка x=А и x=В(если он имеется). В ответ в таком случае записываем наибольшее (наименьшее ) из полученных значений y.

Пример 1. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке [− 2, 5; 0].

Ре­ше­ние. ОДЗ функции y: ; ;

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­дем нули про­из­вод­ной на за­дан­ном от­рез­ке:

; ;

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум.

Чтобы найти наименьшее значение функции подставим точку минимума а так же концы отрезка в функцию

Наименьшее значение функции

Ответ: − 6.

Замечание: Не всегда при подстановке точек в функцию мы получаем значение которое можно достаточно точно вычислить без инженерного калькулятора. Например, в последнем примере мы получили значение . Конечно, такое значение не может быть ответом, так как ответ в первой части заданий должен быть представлен целым числом или конечной десятичной дробью.

Пример 2. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции: