Классическое определение вероятности

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют клас­сическим. Далее укажем слабые стороны этого определе­ния и приведем другие определения, позволяющие пре­одолеть недостатки классического определения.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 оди­наковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый. Очевидно, возмож­ность вынуть наудачу из урны цветной (т.е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень воз­можности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через и т. д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: - появился белый шар; , - появился красный шар; , , - появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А(появлению цветного шара) следующие 5 исходов: , , , , .

Таким образом, событие Анаблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит , или , или , или , или . В этом смысле событие Аподразделяется на несколько элементарных событий (, , , , ); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием Аи элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию Аэлементарных исходов к их общему числу называют вероят­ностью события Аи обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (А)=5/6. Это число и дает ту количественную оценку мни возможности появления цветного шара, которую хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благoприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события Аопределяется формулой

,

где т — число элементарных исходов, благоприятствую­щих А; п — число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы не­совместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует собы­тию. В этом случае m=n, следовательно,

.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испы­тания. В этом случае 0 < m< n, значит, 0 < m/n < 1, следовательно,

.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двой­ному неравенству

.

Далее приведены теоремы, которые позволяют по известным вероятностям одних событий находить вероятность других событий.

Замечание. Современные строгие курсы теории вероятностей построены на теоретико-множественной основе. Ограничимся изложе­нием на языке теории множеств тех понятий, которые рассмотрены выше.

Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий (i=1, 2,..., n). События - называют элементарными событиями { элементарными исходами). Уже отсюда следует, что элементарные события попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий , а сами элементарные события - точками пространства .

Событие А отождествляют с подмножеством (пространства ), элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие А; событие Весть подмножество , элементы которого есть исходы, благоприятствующие В, и т. д. Таким образом, множество всех событийl, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств . Само наступает при любом исходе испытания, поэтому — достоверное событие; пустое подмножество пространства возможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания).

Заметим, что элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент .

Каждому элементарному исходу ставят в соответствие положительноечисло — вероятность этого исхода, причем . По определению, вероятность Р(А)события Аравна сумме вероятностей А элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного—нулю, произвольного—заключена между нулем и единицей.

Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможные. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна . Пусть событию Аблагоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А:

Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем

Получено классическое определение вероятности.

Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А.Н.Колмогоровым[1], неопределяемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведём аксиомы, определяющие вероятность:

1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А,

2. Вероятность достоверного события равна единице:

3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем.