Некоторые задачи из элементарной математики

Я люблю начинать курс «введение в калькулюс», предложив студентам проголосовать по следующему вопросу: Возьмем бесконечную десятичную дробь 0, 99999... Эта дробь меньше единицы или равна единице? Обычно большинство решает, что дробь меньше единицы. Когда я спрашиваю, насколько меньше, студенты дают разные ответы в зависимости от того, какими калькуляторами они пользуются. Так начинается полезное обсуждение, в котором участвуют все, поскольку чувствуют, что это их действительно касается. Каждый студент пытается доказать, что именно его ответ верный, и это помогает мне убедить их, что все они ошибаются: дробь равна единице.

Вы можете спросить: зачем я начинаю с того, что заставляю студентов принимать неправильное решение, да еще в такой явной форме? Потому что я убежден, что преподаватель должен поддерживать в студентах внимание и критичность к себе. Если бы я просто сказал, что дробь равна единице, они бы охотно согласились, но так бы ничего и не поняли.

Русские студенты были довольны каждый раз, когда мне удавалось заморочить им голову. Даже ребенок понимает, что это педагогический прием для закреплени знаний. Это очевидно: мудрая природа заложила в людей, особенно в молодых, любовь к сомнению (поэтому мы платим фокусникам за то, что они нас обманывают). Хороший студент рад возможности встретиться с чем-либо озадачивающим и толкающим к ошибкам, поскольку это дает ему возможность научиться лучше соображать.

Но американские студенты слишком чувствительны ко всему, что они считают неудачей, даже самой незначительной. Когда мои интонации уводили их в неверном направлении, они воспринимали это как нарушение неких джентльменских правил. Такое впечатление, что некоторые американские студенты не могут позволить себе естественной человеческой любви к интеллектуальным приключениям из-за давления оценок. Если советы преподавателя не ведут их прямо к правильному ответу, они считают это промахом учителя, а не педагогической хитростью. Но как при таком отношении научиться преодолевать интеллектуальные трудности? Некоторые считают, что они должны преуспеть с самого начала, а если не удалось — то это непоправимо. Они считают себя обязанными выдавать правильные ответы со скоростью ковбойской перестрелки в вестернах, а если не могут, то чувствуют себя безнадежными неудачниками и не подозревают о возможности самостоятельного развития. Официально на каждом курсе требуются регулярные проверки — тесты. Проводя такие тесты, я обнаружил, что можно окончить университет, не научившись решать простейшие, буквально арифметические задачи. Я включил в свой курс задачу, которую решал еще в школе: Том и Дик могут сделать работу за 2 часа. Том и Гарри сделают ту же работу за 3 часа, Дик и Гарри — за 4 часа. Сколько времена понадобится им, чтобы сделать эту работу втроем? Хотя эта задача решается элементарной алгеброй или несколькими арифметическими подсчетами, 6ольшинство моих студентов не могли решить ее. Одна студентка написала следующую систему уравнений: Т + Д = 2, Т + Г = 3, Д + Г = 4, получила плохую оценку и спросила, за что. Я, в свою очередь, спросил, что она имела в виду под Т, Д и Г — время или что-то другое. Она сказала, что имела, в виду просто Тома, Дика и Гарри. Я заметил: «Это безграмотность». Русский студент ухватился бы за возможность узнать что-то новое, но американка восприняла это как полный провал, вышла из аудитории в слезах и перестала посещать мои занятия. Я до сих пор жалею об этом, но что еще мог сказать? Этот случай типичен в том смысле, что большинство студентов не хотят обсуждать свои ошибки, воспринимая это как ненужное огорчение. Если ты учишься для знаний, ты можешь извлечь пользу из ошибок. Но если ты учишься для оценок, это чистый мазохизм — перебирать в уме упущенные возможности.

Еще одна задача, которую я включал в свой курс: Гекльберри Финну понадобилось 5 дней, чтобы спуститься по течению Миссисипи на пароходе, и 7 дней, чтобы вернуться обратно на том же пароходе. Сколько времени понадобится ему, чтобы спуститься на то же расстояние на плоту? Ответ можно получить вычислением 2/(1/5—1/7)=35 дней. Только немногие решили задачу, хотя у них было много времени и желания получить обещанную за нее оценку.

На последнем занятии моего курса «бизнес-калькулюса» я дал задачу: Когда в магазин привезли 1000 фунтов огурцов, они содержали 99% воды>. Пока они лежали непроданными, часть воды испарилась и ее содержание упало до 98%. Сколько теперь весят огурцы? Студенты схватились за калькуляторы, но не знали, что с ними делать. Через некоторое время один дал сложный и неправильный ответ. К этому времени предполагалось, что студенты научены решать дифференциальные уравнения! Конечно, они не научились! Они лишь научились следовать готовым рецептам, не думая, — блестящее начало карьеры!

Ладно, согласимся, что большинство людей обойдутся без умения решать дифференциальные уравнения. Но зачем же эти студенты тратили время? Весь курс, учебник, изложение были похожи на предназначенные для будущих профессионалов, с одним «незначительным» изменением: использование рецептов вместо решения задач. Но это изменение погубило весь замысел. Итак, студенты потратили зря несколько месяцев, но не научились решать задачи вовсе, поскольку решение задач предполагает способность мыслить продуктивно, то есть порождать идеи, которые не даны заранее. А вот этому-то их и не учили.

Все задачи, приведенные выше, решаются на уровне средней школы. Решение подобных задач и запись решений — полезный опыт формализованного рассуждения, необходимый почти для каждого в современном мире. У всех нормальных подростков хватит ума, чтобы научиться решать такие задачи, и тот, кто решает их в четырнадцать, вполне может изучать «калькулюс» в восемнадцать. Но у большинства моих студентов, похоже, не было такого опыта. Чем же они так долго занимались в школе? Похоже, по большей части они заполняли клеточки, то есть выбирали правильный ответ среди нескольких уже готовых. Такие тесты удобны, поскольку результаты легко обрабатывать. Очевидно, поэтому их так часто и используют. Возможно, такие тесты дают ценные сведения чиновникам от образования, но они очень ограничивают инициативу учеников, не дают им опыта самоорганизации, делают их работу фрагментарной. Если записывать решения, даже неверные, их можно анализировать и научиться чему-то на своих ошибках. Но если просто ставить крестики в клеточках, вы не запомните, почему сделали именно такой выбор, не сможете проанализировать свои ошибки и извлечь из этого пользу. Вы можете лишь надеяться, что ваши условные рефлексы постепенно улучшатся, но вы лишены возможности контролировать этот процесс, как животное в лабиринте. Конечно, лучше поздно, чем никогда, поэтому я дал такие задачи моим студентам. Но, конечно, я дал их немного, поскольку должен был укладываться в программу курса.