Решение задачи 2. Исследуется система двух материальных тел А и В с различными теплофизическими свойствами

Исследуется система двух материальных тел А и В с различными теплофизическими свойствами. Система контактирует с опорой Тн и помещена во внешнюю среду с температурой Тс. Интересует протекание процесса изменения температур тел.
Как видно, в процессе жизни в системе изменяются (могут измениться) четыре показателя - температуры тел A, B, Тс, Тн. Значит, мы имеем дела с четырьмя переменными от времени (поскольку переменные изменяют свои значения со временем). Введем эти переменные: X1(t), X2(t), X3(t), X4(t).

Для построения математической модели данной системы процесс теплопередачи изображен в виде графа зависимостей. Стрелка от А к В обозначает изменение температуры X2(t) объекта В под влиянием объекта А. Ряд стрелок отсутствует, то есть отсутствует влияние одних параметров на другие. Например, от B к Тс, так как тело В не в состоянии сколько-нибудь существенно нагреть открытую атмосферу. Строго говоря, такое влияние есть, но оно настолько ничтожно, что разумно им пренебречь.

Массивную опору тоже нагреть не удастся. Поскольку переменных четыре, то нам необходимо четыре закона, описывающих их изменение. В общем виде, учитывая, от каких переменных зависит каждый показатель, имеем:

- для тела A X1(t) зависит от температуры атмосферы Тс и температуры тела; В;
- для тела В X2(t) зависит от температуры атмосферы Тс, температуры тела A и температуры опоры Тн.

Стрелки, входящие в соответствующий элемент графа, указывают на количество влияющих параметров, а то, откуда они исходят, определяет конкретные названия переменных.

Для среды закон имеет вид X3(t)= const - температура атмосферы Тс не зависит от остальных составляющих данной системы и, соответственно, не изменяется. Для нагревателя закон имеет вид X4(t)= const - температура опоры Тн не зависит от остальных составляющих данной системы и, соответственно, не изменяется.

Основной динамический закон для описания изменения переменной имеет вид:
dX/dt = w(x(t), y(t), z(t),...)

Рассмотрим первое уравнение dX1(t)/dt = f1(X1(t), X2(t), X3(t)). Какие пары переменных взаимодействуют? Стрелки соединяют X1(t) с X2(t), X1(t) с X3(t). То есть имеет место два процесса, влияющих на темп. Мы рассматриваем процессы теплообмена тел. Известно, что тепло, переданное от одного тела, складывается с теплом, переданным от другого. Таким образом имеем:

dX1(t)/dt= g1(X1(t), X2(t)) + g2(X3(t), X1(t)).

Раскроем структуру оставшихся выражений g1 и g2. Очень удобно, что g1 ни как не зависит от g2 и может рассматриваться отдельно. Забудем на некоторое время о g2.

Какой знак нужно поставить между X1(t) и X2(t) в выражении g1?
Возможные варианты: X1(t) + X2(t), X2(t) - X1(t), X1(t) - X2(t), X1(t) * X2(t), X1(t) / X2(t) и другие.

Следует начать с наиболее простых - природа построена просто. И только, если простейшие не удовлетворяют, переходят к более сложным вариантам описания.

Попробуем вариант: dX1(t)/dt= X2(t)-X1(t)

Какие есть качественные варианты у этой физической системы?

а). Х1> X2. Тело А теплее тела В. Теплопоток при контакте двух тел направлен от А к В. Тело А отдает тепло телу В. То есть в процессе контакта значение Х1 падает - уменьшается. Так ли это в уравнении? Посмотрим.

Х1 > X2, значит Х2-X1 < 0, значит dX1(t)/dt< 0, значит Х1 падает. Вывод не противоречит физической картине. Значит, пока данный вариант приемлем, и надо проверить его на остальных качественных ситуациях.

б). X1< X2. Тело А холоднее тела В. Теплопоток при контакте двух тел направлен от В к А. принимает тепло То есть в процессе контакта значение Х2 растет - увеличивается. Так ли это в уравнении? Посмотрим.

Х1< X2, значит Х2-X1 > 0, значит dX1(t)/dt > 0, значит Х1 растет. Вывод не противоречит физической картине. Значит, пока данный вариант приемлем, и надо проверять его далее.

в). X1=X2. Температура тела А равна температуре тела В. Теплопоток при контакте двух тел равен нулю. То есть значение Х1 не изменяется - тело А не отдает и не принимает тепло. Так ли это в уравнении? Посмотрим.

Х1=X2, значит Х2-X12=0, значит dX1(t)/dt=0, значит Х1 не изменяется. Вывод не противоречит физической картине. Значит, данный вариант принимается, так как он правильно (пока только качественно!) отражает физическую картину во всех случаях.

Других вариантов существования системы нет, рассмотрение оканчивается.

Забыв на некоторое время о g1, также можно рассмотреть и g2. В итоге получаем:

dX1(t)/dt= (X2(t)-X1(t)) + (X3(t)-X1(t)).

Так как, во-первых, у разных материалов разность температур влияет на темп изменения температуры тела различным способом, во-вторых, скорости двух процессов (двух разных пар металлов) могут быть разными, то скорректируем модель коэффициентом теплопроводности, который играет роль усилителя (ослабителя) процессов. Это коэффициент влияния связи на объект. При К=0 влияние отсутствует, связь отключается. При К=0.0001 влияние слабое. При К=1000 влияние связи огромно. Понятно, что коэффициент стоит при выражении процесса К? (X2(t)-X1(t)), где знак? означает знак некоторой операции. Какой? Умножение. Эта операция дает ЗАВИСИМОСТЬ одного члена от другого (в нашем случае К от (X₂(t)-X₁(t))).

В итоге модель имеет вид: dX1(t)/dt= К21*(X2(t)-X1(t)) + К31*(X3(t)-X1(t)).

Теперь аналогично второе уравнение:

dX2(t)/dt= К12*(X1(t)-X2(t)) + К32*(X3(t)-X2(t)) + К42*(X4(t)-X2(t)).

Уравнение изменения температуры опоры: dX4(t)/dt=0.
Уравнение изменения температуры атмосферы: dX3(t)/dt=0.
Вся система уравнений в сборе имеет вид:
dX1(t)/dt=К21*(X2(t)-X1(t))+К31*(X3(t)-X1(t))
dX2(t)/dt=К12*(X1(t)-X2(t))+К32*(X3(t)-X2(t))+К42*(X4(t)-X2(t))
dX3(t)/dt=0
dX4(t)/dt=0

Ясно, что по физическим соображениям - сколько тепла вытекает из А в В, столько же и поступает в В из А, то есть К21=К12.

Далее заметим, что мы получили открытую систему, то есть такую, чье суммарное тепло не постоянно, а может изменяться. Это видно из асимметрии стрелок на графе. Проверим этот факт. Для этого сложим левые части всех уравнений и, отдельно, правые части.

вместе:

dXсистемы/dt=К31*(X3(t)-X1(t))+К32*(X3(t)-X2(t))+К42*(X4(t)-X2(t)), то есть dXсистемы/dt не равно нулю и есть утечка или приток тепла в систему извне.

Рассмотрим применение метода Эйлера для расчета траектории движения системы. Зададим значения коэффициентов модели:

Х3=22 град, Х4=15 град, k1=0.1 1/с, k2=0.1 1/с, k3=0.1 1/с, k4=0.05 1/с.

Подставим значения коэффициентов:
X1(t + ) = X1(t)+[0.1*(22-X1(t))+0.2*(X2(t)-X1(t))] *
X2(t + )=X2(t)+[0.1*(15-X2(t))+0.05*(22-X2(t))+0.2*(X1(t)-X2(t))]*
Зададим начальные условия системы
Х1(0)=30 град; Х2(0)=70 град.

Конечное значение времени моделирования - tk = 4 сек..
Выбираем шаг моделирования, например, =0, 2с и приступаем к моделированию.
Процесс моделирования и численные значения отражены в таблице