Разложение в тригонометрический ряд Фурье

Известно [1, 2, 3], что воздействие вида рис. 1.10 может быть разложено в ряд Фурье, то есть представлено в виде:

, (1.11)

где (1.12)

– постоянная составляющая, для которой

0 или . (1.13)

, (1.14)

– амплитуда k гармоники;

(1.15)

– начальная фаза k гармоники ПНВ,

где k = 1, 2, 3, …, – номер гармонической составляющей (номер гармоники) ПНВ;

.

Определение математического выражения

По формулам (1.12)…(1.15) были рассчитаны значения и . Результаты расчета сведены в табл. 1.2 (строки 5 и 6). Заметим, что при расчете по формуле (1.14) значения для k = 4 и 5 получаются отрицательными. Функция является четной, поэтому знак минус отнесем к . При этом к найденному по формуле (1.15) значению следует прибавить .

По данным таблицы 1.2 запишем формулу входного напряжения в виде тригонометрического ряда Фурье:

. (1.15а)

Расчет

Искомое напряжение на выходе первого четырехполюсника определим согласно (1.11):

(1.15б)

где

, (1.16)

θ ₁ . (1.17)

Тогда, учитывая (1.16) и (1.17), можно записать:

(1.18)

Таблица 1.2 – Расчет амплитуд и фаз спектральных составляющих , и

	k
	, рад/с
	, Гц
	(В)	0, 3	0, 4962	0, 2481		0, 1240	0, 0992
			– 60	– 120	–	– 60	– 120
	, В	0, 9	1, 4886	0, 7443		0, 3721	0, 2977
					–
		– 180	– 120	– 60
	, В	0, 9	1, 4886	0, 7443
		– 180	– 180	– 180	–	–	–

Значения U приведены в табл. 1.2 (9 строка). Они получены в результате перемножения значений строк 5 и 7, соответственно.

Результаты расчета приведены в строке 10. Они получены при сложении данных строк 6 и 8, соответственно.

Подставив данные 9 и 10 строк табл. 1.2 в выражение (1.15б), находим:

u (t) = – 0, 9 + 1, 4886cos(13000 t + 120 ) + 0, 7443cos(26000 t + 60 ) +

+ 0, 3721cos(52000 t + 120 ) + 0, 2977cos(65000 t + 60 ), В. (1.19)

Расчет u (t)

Для нахождения u ₃(t) воспользуемся эквивалентными частотными характеристиками тракта передачи Н _Э(ω) и θ _Э(ω), рассчитанными в разделе 1.1 (табл. 1.1).

u (t) = , (1.20)

где

U (1.21)

θ _Э . (1.22)

Значения H _Э(ω) и θ _Э(ω) заимствованные из табл. 1.1, приведены соответственно в 11 и 12 строках табл 1.2, а U и , рассчитанные по формулам (1.21) и (1.22) – в 13 и 14 строках этой же таблицы.

Теперь выражение (1.20) перепишем в виде суммы слагаемых:

u (t) = – 0, 9 + 1, 4886cos(ω t – ) + 0, 7443cos(2ω t – ), В. (1.23)