Характеристическая функция множества

Решение уравнений

При решении уравнений используются следующие тождества алгебры множеств:

1) А=В тогда и только тогда, когда или, что равносильно ;

2) отсюда следует, что ;

3) A_i= отсюда следует, что A_i= для

A_i означает ;

4) A_i=U отсюда следует, что A_i= для .

Пример

Найдем Х:

1) отсюда

2) отсюда

3) отсюда или

Следовательно, .

Покрытие и разбиение множеств

Определение

Множество В={A₁.A₂,..., A_k} непустых подмножеств множества А, то есть A_i A, , называется покрытием множества А, если A_i=А.

Определение

Покрытие называется разбиением, если при .

Пример

А={1, 2, 3}

B={{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} – покрытие, но не разбиение множества А.

B={{1}, {2}, {3}} – разбиение множества А.

Разбиение – это, когда мы бутерброд разрезаем на куски.

Характеристическая функция множества

Характеристическая функция множества вводится следующим образом:

Она определена для и может принимать только значения 0 или 1.

Часто эта функция воспринимается как логическая единица, которая соответствует истинности принадлежности х множеству А, и логический 0 – ложность принадлежности х множеству А.

Введем операции над характеристическими функциями:

1) двухместная операция конъюнкции (операция «и»):

2) двухместная операция дизъюнкции (операция «или»):

3) одноместная операция инверсии (операция «отрицание»):

Логические операции играют большую роль в различных разделах математики.

Булеан