Доказательство. Предположим обратное, что это множество является счетным, то есть его элементы можно представить в виде некоторой последовательности х1

Предположим обратное, что это множество является счетным, то есть его элементы можно представить в виде некоторой последовательности х₁, х₂, х₃...

Известно, что каждому действительному числу из интервала (0, 1) можно сопоставить бесконечную правильную десятичную дробь. Тогда элемент х_i указанной числовой последовательности будет иметь вид:

х_i = 0, a_i1a_i2a_i3...., где a_i1, a_i2, a_i3,... - произвольные десятичные цифры.

Тогда наша последовательность примет следующий вид:

х₁ = 0, a₁₁a₁₂a₁₃....

х₂ = 0, a₂₁a₂₂a₂₃....

х₃ = 0, a₃₁a₃₂a₃₃....

…

Образуем новую дробь y = 0, b₁₁b₂₂b₃₃...., выбрав десятичные цифры b₁₁, b₂₂, b₃₃,... таким образом, что b₁₁ a₁₁, b₂₂ a₂₂, b₃₃ a₃₃,... По построению дробь y отлична от каждой из дробей х₁, х₂, х₃... и, следовательно, не входит в пересчет. Поэтому множество всех действительных чисел интервала (0, 1) числовой оси не может быть счетным.