Внутренние силы в сечениях бруса и их определение через внешние силы

Тема 2 (продолжение).

Внутренние силы в сечениях бруса и их определение через внешние силы

На рис. 2.6, а изображен пространственный брус, находящийся в равновесии под действием системы сил. Рассечем брус плоскостью, перпендикулярной к оси бруса в точке К, и рассмотрим равновесие одной из частей (рис. 2.6, б).

Рис. 2.6.

Отметим, что мы рассматриваем брус с незамкнутой осью. Поэтому при рассечении бруса его часть В должна находиться в равновесии под действием внешних сил Р₃ и Р₄ и поля элементарных сил dP, действующих по элементарным площадкам dF поперечного сечения; оно отнесено к локальной системе координат X, Y, Z.

Все элементарные силы, действующие в сечении, можно, как известно, привести к главному вектору и главному моменту в выбранной системе координат. Представляя главный вектор в виде составляющих N, Q_x и Q_y и главный момент в виде составляющих М_x, М_y и М_z, показанных на рис. 2.6, в, получим следующие внутренние силы:

N – продольная (нормальная) сила;

- поперечные силы;

- изгибающие моменты;

М _z = М _кр – крутящий момент.

Итак, внутренние силы могут рассматриваться как с о с т а в л я ю щ и е г л а в н о г о в е к т о р а и г л а в н о г о м о м е н т а в сечении бруса. Качественно отличных внутренних сил – 4 (четыре). Каждой внутренней силе соответствует свой вид сопротивления элемента бруса. Силе N – растяжение (сжатие), силе Q – сдвиг, моменту изгиб и моменту М _кр – кручение.

Отметим, что индексы у поперечных сил Q соответствуют осям, вдоль которых направлены силы, а индексы у моментов – осям, относительно которых они действуют.

Внутренние силы можно рассматривать и как и н т е г р а л ь н ы е х а р а к т е р и с т и к и п о л я н а п р я ж е н и й, действующих в сечении.

На рис. 2.7 показано поперечное сечение площадью F, отнесенное

Рис. 2.7.

к декартовой системе координат. В сечении выделена элементарная площадка dF c координатами Х и У, на которой действуют напряжения s, t _х и t _у (индексы Z здесь могут быть опущены).

Элементарная продольная сила dN, действующая на площадке dF, очевидно будет равна dN = s·dF. Следовательно,

. (2.4)

Аналогичным образом поперечные силы

; . (2.5)

Так как элементарный изгибающий момент dМ_х, вызванный действием элементарной силы dN, равен dМ_х= dN·у = sуdF, то

; . (2.6)

Нетрудно установить, что элементарный крутящий момент, вызванный действием элементарных поперечных сил, dМ_кр =dQ_у·х – dQ_х·у =t_у·хdF - t_х·уdF. Следовательно, крутящий момент в сечении

. (2.7)

Обратим внимание на то, что все отмеченные интегралы берутся по площади сечения F.

Мы изучили, что такое внутренние силы. Перейдем теперь к рассмотрению правил их определения.

На рис. 2.8 изображен плоский брус, заданный осью АВ, к которому приложены различные взаимно уравновешенные внешние силы.

Рис. 2.8.

Для того, чтобы найти внутренние силы в сечении К бруса, определяемом точкой К на его оси, мысленно проведем через эту точку поперечное сечение. В локальной системе координат ось Z направлена по касательной к оси бруса в точке К, а ось У ей перпендикулярна. Внутренние силы в сечении можно рассматривать как з а м е н я ю щ и е в н е ш н и х с и л, действующих по одну сторону от сечения. Напомним, что ось бруса не замкнута.

Например, продольную силу в сечении К можно рассматривать как сумму проекций всех сил на ось Z, действующих слева (или справа) от сечения. Это можно записать так

(2.8)

где Z_i – проекция силы Р_i (или равнодействующей распределенной нагрузки q) на ось Z.

Аналогичным образом можно записать выражение любой внутренней силы. Она будет равна сумме соответствующих внешних сил, взятых по одну сторону от сечения с учетом знака действия каждой силы. Итак,

Рассмотрим правило знаков при определении внутренних сил. Для этого к элементу бруса длиной dZ, определяемому точкой К, приложим порознь качественно отличные внутренние силы, как это показано на рис. 2.9. Здесь все внутренние силы, определяемые через внешние, имеют положительные значения.

Рис. 2.9.

Как видим из рис. 2.9, продольная сила N > 0, если она направлена в сторону от сечения К, т.е. вызывает растяжение элемента.

Поперечная сила Q > 0, если она слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз.

Изгибающий момент М > 0, если он создает растяжение нижних волокон элемента. Можно рекомендовать следующее мнемоническое правило: при обхвате – левая рука движется по часовой стрелке, правая рука – против часовой стрелки.

Крутящий момент М _кр > 0, если он создает вращение относительно оси сечения против часовой стрелки.

В заключение отметим, что любая внутренняя сила S зависит от положения точки К, определяемого в общем случае координатой s на оси бруса (рис. 2.8). Следовательно, внутренняя сила представляет собой функцию S (s).