Основы построения эпюр внутренних сил.

Как уже отмечалось ранее, любая внутренняя сила S представляет собой функцию S(s). График этой функции называется э п ю р о й. Эпюра строится на базисе, соответствующем оси бруса; ординаты откладываются перпендикулярно базису с учетом знака S.

Перед построением эпюр внутренних сил необходимо найти опорные реакции, т.е. определить все внешние силы, действующие на брус. Далее ось бруса необходимо разбить на участки (интервалы) и записать выражение S(s) по участкам.

Поясним сказанное на примерах.

Пример 2.1. На рисунке 2.11, а изображена балка АД с жесткой шарнирно-неподвижной опорой А и опорой стержнем ВВ₁. Здесь узловыми являются точки А, С, В и Д и, таким образом, балка имеет 3 (три) участка. Обратим внимание на то, что в точке С изменяется характер нагрузки q(z) (сначала она изменяется по линейному закону, а потом постоянна); в точке В действует сосредоточенная сила в виде опорной реакции.

Каждый участок бруса следует представить в аналитической форме. Для этого надо выбрать на нем i –ую точку, «бегающую» по данному участку и «связать» её с произвольно выбранным началом отсчета координатой s_i. Начало отсчета для каждого участка может быть своим или общим для нескольких участков.

Аналитическая запись участков при выбранных началах отсчета (рис. 2.11, а) будет иметь вид:

участок I - 0≤ z₁≤ а; участок II - а≤ z₂≤ (а+b); участок III - 0≤ z₃≤ с.

Обратим внимание на то, что каждая i –ая точка «пробегает» только свой участок, и что разность между пределами составляет длину участка.

На рис. 2.11, б-г изображены эпюры N, Q и М по характеру и с учетом знака. Следует при этом отметить, что на эпюре N должен быть обязательно поставлен знак, свидетельствующий о характере деформации (положительные ординаты обычно, но не обязательно, откладываются вверху). Знак «+» в эпюре Q откладывается вверху.

Особое внимание обратим на эпюру моментов. Здесь знак не существенен, если принять, что ординаты откладываются со стороны растянутых волокон бруса. Это «автоматически» получится, если ординаты положительных моментов откладывать снизу от базиса.

Рис. 2.11.

Пример 2.2. На рис. 2.12, а узловыми являются точка А, точка С (где имеется «перелом» в оси бруса), точка Д (где приложен сосредоточенный момент) и точка В. Следовательно, и в этом случае будем иметь три участка.

Рис. 2.12.

Здесь координатой, определяющей положение точки I, является угол α. Таким образом, аналитическая запись участков в этом примере имеет вид:

участок I - 0≤ α ₁≤ π /2; участок II -0 ≤ z₂≤ b; участок III -0 ≤ z₃≤ с.

С учетом этих же рассуждений, но в иной последовательности построены эпюры внутренних сил (рис. 2.12, б-г).

После построения эпюр внутренних сил необходимо осуществить к о н т р о л ь п р а в и л ь н о с т и их построения. Рекомендуется выполнить следующие правила самоконтроля.

1. Проверить, соблюдаются ли дифференциальные и интегральные зависимости, рассмотренные ранее:

а) Эпюра Q (на линейных участках бруса) должна представлять собой эпюру тангенсов углов наклона касательных к эпюре М (согласно геометрическому смыслу первой производной).

б) В той точке бруса, где действует сосредоточенная сила или момент, в соответствующих эпюрах N, Q и М будут «скачки» (разрывы), равные величине силового фактора S. При этом от действия поперечной сосредоточенной силы в эпюре моментов должен быть перелом в сторону действия силы (правило «топора»).

Подобным образом можно ввести правило «паруса» в эпюре моментов: парус выгибаются в сторону действия ветра (распределенной нагрузки).

2. Проверить, соблюдается ли равновесие узлов. Условия статики SХ = 0, SY = 0, SМ = 0 должны быть выполнены для каждого вырезанного узла плоской системы, где имеется разветвление оси или ее перелом. Непосредственно к вырезанному узлу должны быть приложены сосредоточенные силы и сосредоточенный момент (если они действуют), а к элементам стержней, примыкающим к узлу, соответствующие внутренние силы. Их значения с учетом знака должны быть определены из эпюр.